[論文レビュー] A contribution to the Calder\'{o}n problem for Yang-Mills connections

Mihajlo Cekić|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、境界を有するコンパクトなリーマン多様体上での接続ラプラシアンのディレクトリュ・トゥ・ノイマン（DN）写像から、ゲージ同値を除いてユニタリ・ヤン・ミルズ接続の一意性を確立する。滑らかさのカテゴリーでは線束に対して、解析的カテゴリーでは高ランクの束に対して一意性が証明される。DN写像は一階の強退化型擬微分作用素であり、その完全な記号は境界における接続および計量の完全なテイラー展開を符号化していることが示された。

ABSTRACT

We consider the problem of identifying a unitary Yang-Mills connection $ abla$ on a Hermitian vector bundle from the Dirichlet-to-Neumann (DN) map of the connection Laplacian $ abla^* abla$ over compact Riemannian manifolds with boundary. We establish such uniqueness of the connection up to a gauge equivalence in the case of line bundles in the smooth category and for the higher rank case in the analytic category. Furthermore, we prove that on the restriction of the vector bundle to the boundary the DN map is an elliptic pseudodifferential operator of order one, whose full symbol determines the complete Taylor series of an arbitrary connection and a metric (also of an associated potential) at the boundary.

研究の動機と目的

• 境界を有する多様体上でのユニタリ・ヤン・ミルズ接続を、ディレクトリュ・トゥ・ノイマン写像による境界測定から同定する逆問題に取り組む。
• 接続がゲージ同値を除いて一意に回復可能となる条件を特定する。
• DN写像を擬微分作用素としての構造とその記号的性質を分析する。
• DN写像の記号に、境界における接続および関連計量の完全なテイラー級数が符号化されていることを確立する。
• 滑らかさの仮定を満たす線束から、高ランクのベクトル束への一意性結果の拡張を試みる。

提案手法

• コンパクトな境界付きリーマン多様体上に、ヘルミートベクトル束とユニタリ・ヤン・ミルズ接続を備えた設定で分析が行われる。
• DN写像は、束の断面に作用する接続ラプラシアン $ \nabla^*\nabla $ から構成される。
• DN写像が境界上で一階の強退化型擬微分作用素であることが示される。
• DN写像の完全記号を分析し、境界における接続および計量のテイラー展開に関する情報を抽出する。
• 線束の場合、滑らかさのカテゴリーにおける手法を用いて、ゲージ同値を除いた一意性が証明される。
• 高ランクの束の場合、同じ一意性結果を達成するために解析的カテゴリーの仮定が課される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を有するコンパクトなリーマン多様体上での接続ラプラシアンのディレクトリュ・トゥ・ノイマン写像から、ユニタリ・ヤン・ミルズ接続を一意に特定できるか。
• RQ2 DN写像の完全記号が、境界における接続および計量のテイラー級数をどの程度符号化しているか。
• RQ3 線束において、滑らかさのカテゴリーで接続がゲージ同値を除いて一意に特定可能か。
• RQ4 この一意性結果を高ランクの束へ拡張可能か。その場合、どのような正則性仮定が必要か。
• RQ5 DN写像の正確な擬微分作用素的構造は何か。また、接続および計量の幾何的不変量とどのように関係しているか。

主な発見

• 接続ラプラシアンのディレクトリュ・トゥ・ノイマン写像は、境界上で一階の強退化型擬微分作用素である。
• DN写像の完全記号は、境界における接続の完全なテイラー級数を決定する。
• 線束の場合、滑らかさのカテゴリーにおいて、DN写像からゲージ同値を除いてヤン・ミルズ接続が一意に特定可能である。
• 高ランクの束では、解析的正則性仮定の下で、ゲージ同値を除いての同様の同定が成立する。
• DN写像の完全記号は、関連計量およびポテンシャルの境界におけるテイラー級数も符号化している。
• DN写像の記号に符号化された境界データは、境界において接続および計量を無限階の精度で再構成可能である。