[論文レビュー] A dichotomy theorem for conservative general-valued CSPs

Vladimir Kolmogorov|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2010

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ひとこと要約

この論文は、一般化された価値制約充足問題（VCSP）における保守的言語について、二分法定理を確立し、言語がSTPおよびMJNマルチモーフィズムの補完的組み合わせを許容する場合にかつその場合に限り、その言語が多項式時間で解けることを証明している。この結果は、{0, ∞}-値および有限値の保守的言語に対する先行の二分法結果を一般化し、すべての単項コスト関数を含むVCSPについて、代数的マルチバリュー多様体ポリモーフィズムと既知の tractability 条件への還元を用いて、完全な複雑性分類を提供する。

ABSTRACT

We study the complexity of valued constraint satisfaction problems (VCSP). A problem from VCSP is characterised by a \emph{constraint language}, a fixed set of cost functions over a finite domain. An instance of the problem is specified by a sum of cost functions from the language and the goal is to minimise the sum. We consider the case of so-called \emph{conservative} languages; that is, languages containing all unary cost functions, thus allowing arbitrary restrictions on the domains of the variables. We prove a Schaefer-like dichotomy theorem for this case: if all cost functions in the language satisfy a certain condition (specified by a complementary combination of \emph{STP and MJN multimorphisms}) then any instance can be solved in polynomial time by the algorithm of Kolmogorov and Zivny (arXiv:1008.3104v1), otherwise the language is NP-hard. This generalises recent results of Takhanov (STACS'10) who considered $\{0,\infty\}$-valued languages containing additionally all finite-valued unary cost functions, and Kolmogorov and Zivny (arXiv:1008.1555v1) who considered \emph{finite-valued} conservative languages.

研究の動機と目的

• 保守的一般化制約充足問題（VCSP）について、完全な複雑性分類を確立すること。
• {0, ∞}-値および有限値の保守的言語に対する先行の二分法結果を、より広い一般化された保守的言語のクラスへ一般化すること。
• 具体的には、STPおよびMJNマルチモーフィズムの補完的組み合わせという代数的マルチモーフィズム条件を用いて、tractability を特徴づけること。
• VCSPにおけるポリモーフィズムに基づく二分法定理による、これまでの結果を統合・拡張すること。

提案手法

• トラクタブル言語を特徴付けるために、マルチモーフィズム（STPおよびMJN）を代数的不変量として用いる。
• 言語が特定の閉包性および最小性条件を満たすものと仮定し、部分的なMJNマルチモーフィズムを構築する。
• マルチモーフィズム条件が成立しない場合の非 tractability を示すために、既知の NP 困難言語への還元を用いる。
• KolmogorovおよびŽivný（arXiv:1008.1555v1およびarXiv:1008.3104v1）の先行結果に依拠し、STPマルチモーフィズムおよび組み合わせマルチモーフィズム構造が tractability と関連することを裏付けている。
• 言語とその補集合との間の双対性を用いて、関連するグラフ表現におけるエッジおよびソフトエッジの関係を保存する。
• 単項コスト関数を大きな定数 C を用いた有界な同等物に置き換える還元技術を用い、解の構造を保持したまま NP 困難性を模倣する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような代数的条件下で、保守的一般化VCSPが tractable となるか？
• RQ2 {0, ∞}-値または有限値のケースを超えて、一般化された保守的言語に対して、Schaefer 的な二分法を確立できるか？
• RQ3 STPおよびMJNマルチモーフィズムの補完的組み合わせの存在が、保守的VCSPにおける tractability に対して必要かつ十分であるか？
• RQ4 すべての単項コスト関数が言語に含まれる場合、マルチモーフィズム条件はVCSPの複雑性とどのように関係するか？

主な発見

• 保守的一般化VCSPは、その言語がSTPおよびMJNマルチモーフィズムの補完的組み合わせを許容する場合にかつその場合に限り、tractable である。
• 言語がこのようなマルチモーフィズムの組み合わせを欠いている場合、問題は NP 困難であることが示され、完全な二分法が確立される。
• この結果は、Takhanov（2010）の{0, ∞}-値の保守的言語に対する二分法および、KolmogorovとŽivnýの有限値の保守的言語に対する結果を一般化する。
• 証明は、必要な条件下で部分的なMJNマルチモーフィズムを構築し、STPマルチモーフィズムと tractability の関係を示した先行研究に基づいている。
• 補集合言語 Γ̄ の NP 困難なインスタンスから、元の言語 Γ の対応するインスタンスへの還元は、スケーリング係数を除いて解の同値性を保持する。
• この構成により、元の問題における有限コストの割り当てが、還元されたインスタンスにおいても有限コストの割り当てに対応し、コストが多項式係数（N = |T₁| + |T*|）でスケーリングされる。このため、NP 困難性が保持される。