[論文レビュー] A discrete Weber inequality on three-dimensional hybrid spaces with application to the HHO approximation of magnetostatics

Florent Chave, Daniele A. Di Pietro+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 33被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、多面体メッシュ上の3次元ハイブリッド多項式空間に対して、離散ウェーバー不等式を確立し、磁気渇応の2つのハイブリッド高次法（HHO）法の収束解析を可能にする。両手法は、磁場とベクトルポテンシャルの定式化において、最適な $k+1$ 次のエネルギー誤差収束率を達成し、立方体および四面体メッシュ上で理論的レートが数値的に確認されている。

ABSTRACT

We prove a discrete version of the first Weber inequality on three-dimensional hybrid spaces spanned by vectors of polynomials attached to the elements and faces of a polyhedral mesh. We then introduce two Hybrid High-Order methods for the approximation of the magnetostatics model, in both its (first-order) field and (second-order) vector potential formulations. These methods are applicable on general polyhedral meshes, and allow for arbitrary orders of approximation. Leveraging the previously established discrete Weber inequality, we perform a comprehensive analysis of the two methods. We finally validate them on a set of test-cases.

研究の動機と目的

• 多面体メッシュ上で定義された3次元ハイブリッド多項式空間に対して、最初のウェーバー不等式の離散版を確立すること。
• 磁気渇応問題のための2つのハイブリッド高次法（HHO）を構築し、解析すること：1つは1次場の定式化、もう1つは2次ベクトルポテンシャル定式化。
• 両手法が、任意の多項式次数 $k \geq 0$ に対して、エネルギーノルムおよび $L^2$-類似ノルムで最適な $k+1$ 次の収束率を示すことを証明すること。
• 立方体および正則四面体メッシュ上で、理論的収束レートが確認されるように、数値的検証を実施すること。

提案手法

• 各要素ごとの多項式ベクトル関数の分解（補題2）を用いて、メッシュ要素および面に定義された多項式ベクトルで張られるハイブリッド空間上での離散ウェーバー不等式を導出する。
• 1次場の定式化と磁気渇応の一般化されたベクトルポテンシャル定式化のための2つのHHO法を構築する。
• 局所的再構成とハイブリダイゼーションを用いて、シュール補行列を介して要素ベースの自由度を削除し、縮約されたグローバル系の効率的解法を可能にする。
• 新しく証明された離散ウェーバー不等式と離散インフラス条件を用いて、手法の安定性と収束性を確立する。
• ラグランジュ乗数を用いた混合有限要素風の枠組みを採用し、離散状態における一貫性と適合性を強制する。
• 立方体メッシュを用いた数値実験を実施し、立方体および四面体要素で、スパースLU法を用いて縮約系を解き、エネルギー、$L^2$、$L^2$-類似ノルムにおける収束を測定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多面体メッシュ上で、連続系に類似した3次元ハイブリッド多項式空間に対して、離散ウェーバー不等式を確立できるか？
• RQ2 提案されたHHO法が、磁気渇応の場とベクトルポテンシャルの両定式化において、エネルギーノルムで最適な $k+1$ 次の収束率を達成するか？
• RQ3 四面体メッシュ上でのHHO法において、離散双一次形式 $d_h$ を削除すると、精度と条件数にどのような影響を与えるか？
• RQ4 離散正確複体やグローバル適合性に依存せずに、離散ウェーバー不等式を用いて安定性と収束性を証明できるか？
• RQ5 異なるメッシュタイプおよび多項式次数において、HHO法の実用的性能（収束レートと解法時間）はいかがなっているか？

主な発見

• 多面体メッシュ上でのハイブリッド多項式空間に対して、離散ウェーバー不等式が厳密に証明され、収束解析の基盤が構築された。
• 1次場の定式化のためのHHO法は、$k \geq 0$ に対して最適なエネルギー誤差収束 $k+1$ 次を達成する。
• ベクトルポテンシャル定式化のためのHHO法も、最適な $k+1$ 次のエネルギー誤差収束を達成し、磁場の $L^2$-誤差収束は $k+2$ 次となる。
• 一致する四面体メッシュ上では、双一次形式 $d_h$ を削除することで磁場の近似がわずかに高精度となり、$k+1$ 収束レートは維持される。
• 数値結果により、立方体および四面体メッシュ上での予測された収束レートが確認され、解法時間は自由度に比例して適切にスケーリングされる。
• 多項式次数 $k = 0, 1, 2$ においても、手法は頑健であり、誤差測定値は良好に条件付けられており、理論的期待と整合的である。