[論文レビュー] A dynamical systems analogue of Lichtenbaum's conjectures on special values of Hasse-Weil zeta functions

Christopher Deninger|ArXiv.org|May 29, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、葉層構造を持つ力学系の文脈において、Hasse-Weil zeta関数の特殊値に関するLichtenbaum予想の類似を確立する。zeta正則化された行列式、解析 torsion、およびCheeger–Müllerの定理を用いて、s=0におけるRuelle zeta関数の主要係数がReidemeister torsionに等しいことを証明し、これは算術的スキームにおけるLichtenbaumの公式の構造と一致する。

ABSTRACT

In recent years Lichtenbaum has conjectured a description for the special values of Hasse--Weil zeta functions in terms of ``Weil-étale cohomology''. In earlier papers we studied a class of foliated dynamical systems which had some similarities with arithmetic schemes. Assuming that certain zeta regularized determinants exist we now prove an analogue of Lichtenbaum's conjectures for a particularly simple class of such dynamical systems: Using results of Álvarez López and Kordyukov we express the leading coefficient $ζ^*_R (0)$ of the Ruelle zeta function $ζ_R (s)$ at $s = 0$ in terms of analytic torsion. We then apply the Cheeger--Müller theorem to replace the analytic torsion by the Reidemeister torsion with respect to harmonic bases. For our dynamical systems the latter can be expressed by the same recipe as the one in Lichtenbaum's conjectures.

研究の動機と目的

• Hasse–Weil zeta関数の特殊値に関するLichtenbaumの予想的枠組みを、葉層構造を持つ力学系の文脈へと拡張すること。
• 解析 torsion を通じて、s=0におけるRuelle zeta関数の主要係数とReidemeister torsion の間の対応を確立すること。
• この力学的設定における torsion 公式が、算術的スキームにおけるLichtenbaumの予想的公式の構造を模倣することを示すこと。
• 幾何的・解析的道具を用いて、同じ行列式公式を実現することにより、Weil-étaleコホモロジーの力学系的類似を提供すること。

提案手法

• zeta正則化された行列式を用いて、s=0におけるRuelle zeta関数の主要係数を定義する。
• Cheeger–Müllerの定理を適用し、調和基底に関して解析 torsion をReidemeister torsion に等しくする。
• コホモロジー類 ψ によって誘導される微分を持つ、コホモロジー群の非自明な複体を構成する。
• 正規直交調和基底を用いて、Reidemeister torsion 公式における非自明複体の行列式を計算する。
• コホモロジー複体とラプラシアンの核を含むモデル複体との等長同型を確立する。
• 双対性およびcap同型を用いて、ホモロジーとコホモロジーにおける torsion を関連付け、Lichtenbaumの torsion 積公式と整合させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lichtenbaumのzeta関数の特殊値に関する予想的公式の構造は、力学系の文脈で実現可能か？
• RQ2 葉が稠密な葉層構造を持つ力学系において、s=0におけるRuelle zeta関数の主要係数はReidemeister torsion に等しいか？
• RQ3 非有限な力学的設定において、解析 torsion はどの程度Lichtenbaum型の公式を実現できるか？
• RQ4 コホモロジーにおける非自明複体の行列式は、力学系における torsion 不変量とどのように関係するか？
• RQ5 この設定における torsion 公式は、Lichtenbaumの予想と同様に、torsion 群の積と行列式の形で表現可能か？

主な発見

• s=0におけるRuelle zeta関数の主要係数 ζ*ₜ(0) は、解析 torsion T(X,g) の逆数に等しい。
• 解析 torsion T(X,g) は、調和基底に関してReidemeister torsion τ(X, h•) に等しい。
• Reidemeister torsion τ(X, f•) は、|Hⁱ(X, ℤ)ₜₒᵣₛ| の (−1)ⁱ 乗の積に等しい。
• 調和基底を用いるとき、非自明複体 (H•(X, ℝ), D, f•) の行列式の絶対値は 1 であり、これが主要な恒等式を導く。
• 最終的な結果は、ζ*ₜ(0) = ∏ᵢ |Hⁱ(X, ℤ)ₜₒᵣₛ|^(−1)ⁱ / det(H•(X, ℝ), D, f•) であり、Lichtenbaumの公式と一致する。
• この結果は、zeta正則化された行列式が存在し、かつフローが横断面を有するか、葉が稠密であるという仮定の下で成り立つ。