[論文レビュー] A Fractional Subgrid-scale Model for Turbulent Flows: Theoretical Formulation and a Priori Study

Mehdi Samiee, Ali Akhavan-Safaei+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 66被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非局所的で非ガウス的なSFS応力の特徴を捉えるために、Lévy安定分布を用いて平衡分布関数をモデル化することで、乱流のLarge Eddy Simulation (LES) のための分数階サブグリッドスケール (SGS) モデルを提案する。これにより、非局所的で非ガウス的なSFS応力を捉える分数ラプラシアン作用素 $(-\Delta)^{\alpha}$ が得られ、モデルの唯一のパラメータ $α$ はフィルタ幅とレイノルズ数に依存する。a priori テストでは、均一かつ等方的乱流において、古典的モデルよりも優れた予測性能が示された。

ABSTRACT

Coherent structures/motions in turbulence inherently give rise to intermittent signals with sharp peaks, heavy-skirt, and skewed distributions of velocity increments, highlighting the non-Gaussian nature of turbulence. That suggests that the spatial nonlocal interactions cannot be ruled out of the turbulence physics. Furthermore, filtering the Navier-Stokes equations in the large eddy simulation of turbulent flows would further enhance the existing nonlocality, emerging in the corresponding subgrid scale fluid motions. That urges the development of new nonlocal closure models, which respect the corresponding non-Gaussian statistics of the subgrid stochastic motions. To this end and starting from the filtered Boltzmann equation, we model the corresponding equilibrium distribution function with a extit{Lévy}-stable distribution, leading to the proposed fractional-order modeling of subgrid-scale stresses. We approximate the filtered equilibrium distribution function with a power-law term, and derive the corresponding filtered Navier-Stokes equations. Subsequently in our functional modeling, the divergence of subgrid-scale stresses emerges as a single-parameter fractional Laplacian, $(-Δ)^α(\cdot)$, $α\in (0,1]$, of the filtered velocity field. The only model parameter, i.e., the fractional exponent, appears to be strictly depending on the filter-width and the flow Reynolds number. We furthermore explore the main physical and mathematical properties of the proposed model under a set of mild conditions. Finally, the introduced model undergoes extit{a priori} evaluations based on the direct numerical simulation database of forced and decaying homogeneous isotropic turbulent flows at relatively high and moderate Reynolds numbers, respectively. Such analysis provides a comparative study of predictability and performance of the proposed fractional model.

研究の動機と目的

• 乱流におけるサブグリッドスケール (SGS) 動きの非ガウス的で、間歇的かつ非局所的な性質を、古典的なガウスベースのモデルでは不十分に捉えている問題に対処すること。
• SGS応力閉じ込めにおいて局所的で、マルコフ的で、ガウス的であると仮定する従来のLESモデルの限界を克服すること。
• フィルタリングされたボルツマン方程式と統計力学の原則に基づいた、物理的に整合性のある非局所的SGSモデルの構築。
• Lévy安定分布と乱流モデリングにおける分数階作用素との間の理論的枠組みを確立すること。
• 強制的かつ減衰する均一かつ等方的乱流の直接数値シミュレーション (DNS) データベースを用いたa priori分析を通じて、モデルの予測能力を検証すること。

提案手法

• Lévy安定分布を用いて平衡分布関数をモデル化することで、フィルタリングされたボルツマン方程式からフィルタリングされたナビエ＝ストークス方程式を導出する。
• フィルタリングされた平衡分布関数をべき則項で近似し、分数階サブグリッドスケール応力モデルを導出する。
• SGS応力の発散を、パラメータ $α \in (0,1]$ を持つ単一の分数ラプラシアン $(-\Delta)^{\alpha}$ として表現する。
• 理論的および漸近的解析を通じて、モデルのパラメータ $α$ をフィルタ幅とレイノルズ数の関数として確立する。
• テイラー展開と主値積分を用いて、分数応力発散の非局所的積分形を導出する。
• 高および中程度のレイノルズ数における均一かつ等方的乱流のDNSデータを用いて、a priori テストに本モデルを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy安定統計に基づく分数階モデルは、乱動における非ガウス的で、間歇的かつ非局所的な特性を、従来のモデルよりもよく捉えることができるか？
• RQ2 フィルタリングされたボルツマン方程式とLévy安定平衡分布の選択から、どのように分数ラプラシアン作用素 $(-\Delta)^{\alpha}$ が導かれるか？
• RQ3 分数階指数 $α$ は、フィルタ幅やレイノルズ数などの物理的パラメータにどのように依存するか？
• RQ4 a priori テストにおいて、提案された分数階SGSモデルは、古典的モデルと比較して予測性能に優れているか？
• RQ5 分数モデルの非局所的構造は、座標系不変性や熱力学第二法則といった基本的物理法則を保持しているか？

主な発見

• 分数階SGSモデルは、フィルタリングされた速度場の分数ラプラシアン $(-\Delta)^{\alpha}$ として、サブグリッドスケール応力の発散を表現し、$\alpha \in (0,1]$ である。
• モデルのパラメータ $α$ は、フィルタ幅とレイノルズ数に厳密に依存しており、物理的スケーリング関係を示している。
• 平衡分布関数は、大きな距離隔離（$\bar{\Delta} > 1$）において重い尾部の振る舞いを示し、Lévy安定統計と非ガウス的間歇性と整合的である。
• 分布の漸近的形はべき則の減衰 $\sim \bar{\Delta}^{-\alpha + d/2}$ を示し、分数作用素の使用を正当化する。
• a priori 分析により、分数モデルが、古典的モデルよりもサブグリッドスケールエネルギー移動の予測精度に優れていることが示された。
• 導出された応力発散の積分形は、非局所的積分の主値と整合的であり、物理的一致性と座標系不変性を保持している。