[論文レビュー] A framework for reversible circuit complexity

Mathias Soeken, Nabila Abdessaied+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、単一ターゲットゲートの線形上界とToffoliゲートの指数的下界の2つの主要な境界を用いて、可逆回路の複雑さを分析するフレームワークを提案する。ESOPに基づく合成を活用することで、制御関数に少ない積項を含む場合、可逆関数は線形サイズのToffoli回路で実装可能であることが示され、従来の境界を下回るアンシリアラインの数を実現する「最適より優れた」埋め込み戦略が可能になる。

ABSTRACT

Reversible single-target gates are a generalization of Toffoli gates which are a helpful formal representation for the description of synthesis algorithms but are too general for an actual implementation based on some technology. There is an exponential lower bound on the number of Toffoli gates required to implement any reversible function, however, there is also a linear upper bound on the number of single-target gates which can be proven using a constructive proof based on a former presented synthesis algorithm. Since single-target gates can be mapped to a cascade of Toffoli gates, this synthesis algorithm provides an interesting framework for reversible circuit complexity. The paper motivates this framework and illustrates first possible applications based on it.

研究の動機と目的

• 可逆回路の複雑さを分析するための形式的フレームワークを確立すること。
• 量子計算および低消費電力計算において重要であるにもかかわらず、可逆関数の体系的な複雑さ分析が不足しているという問題に取り組むこと。
• 分析に用いる単一ターゲットゲートと実装に用いるToffoliゲートの間のトレードオフを調査すること。
• 制限されたゲートタイプ下で効率的な合成が可能な関数クラスを同定すること。
• 従来手法を上回るアンシリアライン使用量を実現する、新しい埋め込み戦略の開発。

提案手法

• 単一ターゲットゲートをToffoliゲートの級列にマッピングするために、排他的な積和形（ESOP）表現を用いる。
• 構成的合成アルゴリズムを適用し、任意の可逆関数を実装するために必要な単一ターゲットゲートの数に線形上界を証明する。
• 数学的帰納法を用いて、n本のラインにn個の単一ターゲットゲートを持つ半V字型可逆回路が正確に (2^{2^{n-1}})^n 種類の関数を実現できることを証明する。
• 単一ターゲットゲートにおける順序付きで重複のないターゲットラインを用いて、可逆関数の部分集合の標準表現を定義する。
• 半V字型回路との一対一対応を用いて、B_{n-1,n}に属する非可逆関数を可逆関数に写像する方法を提案する。
• 構造的制約を活用することで、従来の2n−1という境界を下回るアンシリアライン数を必要とする埋め込み技術を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の可逆関数を実装するために必要な最小のToffoliゲート数は何か？ また、単一ターゲットゲート数と比べてどうなるか？
• RQ2 制御関数のESOP複雑度が低い可逆関数は、線形サイズのToffoli回路で合成可能か？
• RQ3 半V字型回路のような制限付きの可逆回路トポロジーによって特徴付けられる関数クラスは何か？
• RQ4 非可逆関数を、従来の2n−1という境界を下回るアンシリアライン数で可逆回路に埋め込むことは可能か？
• RQ5 単一ターゲットゲート回路の構造は、得られる関数クラスのサイズと表現力にどのように関係するか？

主な発見

• n入力の任意の可逆関数は、最大n個の単一ターゲットゲートで実装可能であり、線形上界が確立される。
• 指数的数のToffoliゲートを必要とする可逆関数が存在することを示し、指数的下界が確立される。
• n本のラインにn個の単一ターゲットゲートを持つ半V字型可逆回路は正確に (2^{2^{n-1}})^n 種類の関数を実現でき、標準表現を形成する。
• このような回路で実現可能な関数の数は、B_{n-1,n}に属するブール関数の数と一致し、一対一対応が可能になる。
• 本稿で提案する新しい埋め込み戦略により、B_{n-1,n}に属する関数をn本のラインのみで可逆回路にマッピング可能であり、従来の2n−1ラインの境界を上回る。
• 単一ターゲットゲートにおける制御関数のESOP積項数が定数である関数は、線形サイズのToffoli回路で合成可能である。