[論文レビュー] A fully discrete low-regularity integrator for the 1D periodic cubic nonlinear Schrödinger equation

Buyang Li, Yifei Wu|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Numerical methods for differential equations参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$ H^1 $ 初期データをもつ1次元周期的立方非線形シュレーディンガー方程式に対する、完全離散的かつ完全明示的な低正則性積分法を提示する。ねじれ変数、周波数切り捨て、FFTに基づく空間離散化を用いることで、CFL条件を必要とせず、$ L^2 $ ノルム誤差境界 $ O(\tau\sqrt{\ln(1/\tau)} + N^{-1}) $ を達成し、対数要因を除いて1次収束を示す。

ABSTRACT

A fully discrete and fully explicit low-regularity integrator is constructed for the one-dimensional periodic cubic nonlinear Schrödinger equation. The method can be implemented by using fast Fourier transform with $O(N\ln N)$ operations at every time level, and is proved to have an $L^2$-norm error bound of $O(τ\sqrt{\ln(1/τ)}+N^{-1})$ for $H^1$ initial data, without requiring any CFL condition, where $τ$ and $N$ denote the temporal stepsize and the degree of freedoms in the spatial discretisation, respectively.

研究の動機と目的

• 1次元周期的立方非線形シュレーディンガー方程式に対して、滑らかでない初期データをもつ完全離散的かつ完全明示的な数値解法を開発すること。
• 高正則性仮定を必要とせず、$ H^1 $ 初期データに対して時間および空間方向で1次収束を達成すること。
• 高速フーリエ変換（FFT）を用いて、1ステップあたり $ O(N\ln N) $ 操作で実装可能な計算効率の高い方法を構築すること。
• CFL条件を必要とせず、低正則性仮定のもとで最適収束率を維持すること。
• 調和解析的手法を用いて、周波数領域における空間的および時間的離散化誤差を統一的に取り扱うこと。

提案手法

• 指数積分法フレームワークにおける整合性誤差を低減するため、ねじれ変数変換を採用する。
• 指数積分における低周波数および高周波数成分の近似に、それぞれ異なる調和解析的手法を用いる。
• 空間離散化は、繰り返しの周波数切り捨てとFFTを統合して行う：$ (4N+1) $ 点のFFTを用いて2つの$ (2N+1) $ 項のフーリエ級数の積を計算し、その後 $ (2N+1) $ 項に再切り捨てを行う。
• この手法により三角関数補間誤差を回避し、空間離散化誤差が周波数切り捨てに起因するのみとなる。
• このスキームは完全に明示的であり、FFTを用いて実装可能で、1ステップあたり $ O(N\ln N) $ 操作を要する。
• 安定性および整合性は、離散バーゲン空間推定と数値解の $ H^1 $ 正則性を用いた周波数領域で分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全離散的かつ完全明示的な積分法は、$ H^1 $ 初期データをもつ1次元周期的立方NLSに対して、$ L^2 $ で1次収束を達成できるか？
• RQ2 CFL条件を必要とせずに、このような方法を構築することは可能か？
• RQ3 調和解析を用いて、周波数領域で空間的および時間的離散化誤差を同時に分析できるか？
• RQ4 非線形項において、補間誤差を導入せずにFFTを効率的に用いる方法は何か？
• RQ5 初期データの正則性が最小限であっても、最適収束率を維持できるか？

主な発見

• 提案手法は、$ H^1 $ 初期データに対して、CFL条件を必要とせず、$ L^2 $ ノルム誤差境界 $ O(\tau\sqrt{\ln(1/\tau)} + N^{-1}) $ を達成する。
• 数値実験により、$ H^1 $ 初期データに対して時間方向収束率が約 $ O(\tau^{1.02}) $ であることが確認され、理論的境界と整合的である。
• $ H^2 $ 初期データの場合、$ O(\tau + N^{-2}) $ の誤差を達成し、空間方向で最適収束が実現される。
• 空間離散化誤差は周波数切り捨てに起因するのみであり、FFTに起因する補間誤差は一切生じない。
• $ H^1 $ ノルムは、$ \tau $ および $ N $ に関して一様に有界である。
• 計算効率が高く、FFTを用いることで1ステップあたり $ O(N\ln N) $ 操作で実行可能である。