[論文レビュー] A generalised Kotz type distribution and Riesz distribution

José A. Dı́az-Garcı́a|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2013

Matrix Theory and Algorithms参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、実ノルム除法代数上でのRiesz分布に従う確率的行列Y = X*Xの分布を導出することにより、行列変量正規分布およびWishart分布の一般化として、Kotz-Riesz分布を導入する。主な貢献は、2種類のKotz-Riesz分布の定式化とその特性関数の導出であり、Riesz測度を用いて多変量楕円分布を非正規、重い尾を持つ設定へと拡張する。

ABSTRACT

This article derives the distribution of random matrix $\mathbf{X}$ associated with the transformation $\mathbf{Y} = \mathbf{X}^{*}\mathbf{X}$, such that $\mathbf{Y}$ has a Riesz distribution for real normed division algebras. Two versions of this distributions are proposed and some of their properties are studied.

研究の動機と目的

• Riesz測度に基づく新しい分布族を導入することにより、行列変量正規分布およびWishart分布を一般化すること。
• 実ノルム除法代数（R, C, H, O）上の確率的行列に対して、2つのバージョンのKotz-Riesz分布を定義し、それらを研究すること。
• 行列変換を通じて、Riesz分布と新しいKotz-Riesz分布との関係を確立すること。
• 多変量統計的推論への応用を目的として、Kotz-Riesz分布の特性関数およびモーメント生成関数を導出すること。
• 多変量解析における既存の楕円分布理論を、非正規かつ重い尾を持つモデルへと拡張すること。

提案手法

• 実ノルム除法代数上での行列変量変換を用いて、Y = X*X がRiesz分布に従うようなXの分布を導出する。
• 対称錐の理論および対称錐上での一般化ガンマ関数を用いて、Riesz分布を定義する。
• ゾーン多項式および行列引数の超幾何関数を用いて、密度関数および特性関数を表現する。
• Zが標準Kotz-Riesz形に従うとき、X = μ + Θ^{1/2}ZΣ^{1/2} という変換を用いて、Kotz-Riesz分布の特性関数を確立する。
• Riesz測度およびその一般化を用いて、パrameter κおよびβでインデックスされる2つのバージョンのKotz-Riesz分布を定義する。
• 対称錐上での行列変量特殊関数、特に一般化ポッホハマー記号および多変量ガンマ関数の結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Riesz測度を用いて、正規性仮定を越えてWishart分布をどのように一般化できるか。
• RQ2 Kotz-Riesz分布の2つの異なるバージョンとは何か。それらはRiesz分布およびKotz分布とどのように関係しているか。
• RQ3 Kotz-Riesz分布の特性関数は何か。それは正規分布およびWishart分布のケースをどのように一般化するか。
• RQ4 Kotz-Riesz分布のモーメントおよび分布的性質は、行列変量正規分布およびWishart分布と比べてどのように異なるか。
• RQ5 Kotz-Riesz分布は多変量解析における楕円分布族をどの程度拡張するか。

主な発見

• Kotz-Riesz分布は、X*X がRiesz分布に従うようなXの分布として導出され、Wishart分布および行列変量正規分布を一般化する。
• 2種類のKotz-Riesz分布が明示的に定義され、そのうちの1つは古典的Kotz分布を行列変量設定へと一般化する。
• Kotz-Riesz分布の特性関数は、ゾーン多項式および行列引数の一般化超幾何関数を用いて表現される。
• 特性関数は、φ_X(T) = exp(iμT*) × E[etr(iZ(Θ^{1/2}TΣ^{1/2})*)] として与えられ、期待値は一般化ガンマ関数およびゾーン多項式を含む。
• この分布は左楕円分布族に属することが示され、モーメント、推定、仮説検定に関する既存の結果の直接適用が可能になる。
• 本稿では、Kotz-Riesz分布が行列変量正規分布およびWishart分布を一般化することを確立しており、特にβ = 1および特定のパrameter選択下で成立する。