[論文レビュー] A geometric Jacquet-Langlands correspondence for paramodular Siegel threefolds

Pol van Hoften|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 57被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、p進体 Qp 上のパラモジュラー Siegel 3次元多様体の内部コホロロジーに対する重み・モノドロミー予想を証明し、特異点集合における Picard-Lefschetz 理論を用いることで、幾何学的 Jacquet-Langlands 対応を確立する。また、定義的単一部型のユニタリー群上の代数的モジュラー形式への Hecke 同変埋め込みを構成し、 Ibukiyama の予想を検証するとともに、整数的モノドロミー技術を用いて GSp4 の自動形式表現に対するレベル低下結果を確立する。

ABSTRACT

We study the Picard-Lefschetz formula for the Siegel modular threefold of paramodular level and prove the weight-monodromy conjecture for its middle degree inner cohomology with arbitrary automorphic coefficients. We give some applications to the Langlands programme: Using Rapoport-Zink uniformisation of the supersingular locus of the special fiber, we construct a geometric Jacquet-Langlands correspondence between $\operatorname{GSp}_4$ and a definite inner form, proving a conjecture of Ibukiyama. We also prove an integral version of the weight-monodromy conjecture and use it to deduce a level lowering result for cohomological cuspidal automorphic representations of $\operatorname{GSp}_4$.

研究の動機と目的

• Qp 上のパラモジュラー Siegel 3次元多様体の内部コホロロジーに対する重み・モノドロミー予想を証明すること。
• 特異点集合を用いて GSp4 とその定義的内包型の間の幾何学的 Jacquet-Langlands 対応を構成すること。
• Ibukiyama が提唱した、p-新規の Siegel モジュラー形式から定義的ユニタリー群上の代数的モジュラー形式への Hecke 同変埋め込みの存在を検証すること。
• 重み・モノドロミー予想の整数的バージョンを確立し、GSp4 の正則補間自動形式表現に対するレベル低下結果を導出すること。

提案手法

• p で悪い還元を示すパラモジュラー Siegel 3次元多様体に対して、エタールコホロロジーにおける Picard-Lefschetz 公式を用いる。
• Rapoport-Zink の均一化を適用し、特異点集合を G(Q)\G(Af)/(UpK2(p)) の形をしたアーデリック二重商と同定する。
• 定義的ユニタリー群 G 上の代数的モジュラー形式を、この特異点集合の有限集合上の関数と同一視する。
• 参考文献 [30] のコホロロジーの消滅定理を用いて、十分に正則な重みにおいて H3! (XQp, V) の重み・モノドロミー予想を証明する。
• ガロア同変分解定理と中間拡張を用いて、内部コホロロジーとコンパクト化された Shimura 多様体の交差コホロロジーを関連付ける。
• コホロロジーの直和成分およびトレース写像の結果を応用し、モノドロミー不変性と整数性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータレベル構造を p で持つ Qp 上のパラモジュラー Siegel 3次元多様体の中央次元内部コホロロジーに対して、重み・モノドロミー予想は成立するか？
• RQ2 特異点集合を用いて GSp4 とその定義的内包型との間の幾何学的 Jacquet-Langlands 対応を構成できるか？
• RQ3 Ibukiyama が予想したように、p-新規の Siegel モジュラー形式から定義的ユニタリー群 G 上の代数的モジュラー形式への Hecke 同変埋め込みが存在するか？
• RQ4 重み・モノドロミー予想の整数的バージョンを確立し、GSp4 の正則補間自動形式表現に対するレベル低下結果を導出できるか？

主な発見

• X をパラモジュラー Siegel 3次元多様体、V を十分に正則な重みの自動形式局所系とするとき、H3! (XQp, V) に対して重み・モノドロミー予想が成立する。
• Picard-Lefschetz 公式を用いた幾何学的 Jacquet-Langlands 対応が構成され、Sk,j[K(p)]new から AGk,j[K2(p)] への Hecke 同変埋め込みが得られる（k ≥ 0 かつ j ≥ 3）。
• Ibukiyama の予想が検証された：p 以外の Hecke 代数に関して、Sk,j[K(p)]new ֒→AGk,j[K2(p)] の写像は単射かつ Hecke 同変である。
• 重み・モノドロミー予想の整数的修正版が確立され、GSp4 の正則補間自動形式表現に対するレベル低下結果が得られる。
• Sk,j[K(p)]new →AGk,j[K2(p)] の写像の像が、低レベルの形式および定数関数からの持ち上げの補空間であることが示された。
• k = 0、j = 3 の場合、H4c(AH,η, Qℓ) = Qℓ(−2) であるため、写像 α の余核の次元公式が予想と整合的である。