[論文レビュー] A Giambelli formula for the $S^1$-equivariant cohomology of type A Peterson varieties

Darius Bayegan, Megumi Harada|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2010

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ひとこと要約

この論文は、タイプAのペテルソン多様体の$S^1$-同調同型のためのジアムベリの公式を確立し、任意のペテルソンシューベルトクラスを次数2の生成子で表す。ハラダとティモツコのモンクの公式をもとに、明示的な乗法的構造を導出し、構造定数が第二種スターリング数であることを証明し、古典的シューベルトクラスに類似した安定性の性質を確立する。

ABSTRACT

The main result of this note is a Giambelli formula for the Peterson Schubert classes in the $S^1$-equivariant cohomology ring of a type $A$ Peterson variety. Our results depend on the Monk formula for the equivariant structure constants for the Peterson Schubert classes derived by Harada and Tymoczko. In addition, we give proofs of two facts observed by H. Naruse: firstly, that some constants which appear in the multiplicative structure of the $S^1$-equivariant cohomology of Peterson varieties are Stirling numbers of the second kind, and secondly, that the Peterson Schubert classes satisfy a stability property in a sense analogous to the stability of the classical equivariant Schubert classes in the $T$-equivariant cohomology of the flag variety.

研究の動機と目的

• 任意のペテルソンシューベルトクラスを$S^1$-同調同型環内の次数2の生成子で表すジアムベリの公式を構築すること。
• ナルースが観察したように、ペテルソンシューベルトクラスの積における構造定数が第二種スターリング数に一致することを証明すること。
• 旗多様体の増大する包含関係におけるペテルソンシューベルトクラスの安定性の性質を確立すること。
• 乗法的に生成される次数2のクラスのみを用いて、$H^{*}_{S^{1}}(Y)$の表現を単純化すること。
• コホロジー環の定義関係が、二次関係のみによって生成されることを示す予想を提示すること。

提案手法

• ハラダとティモツコが導出したペテルソン多様体の$S^1$-同調同型のモンクの公式を活用し、シューベルトクラスの積を表現する。
• 完全旗多様体の$T$-同調同型からペテルソン多様体の$S^1$-同調同型への射影を用いて、ペテルソンシューベルトクラスを定義する。
• 制限写像の分析と、$n$の増大に伴うクラスの安定性を検証するための組合せ論的技法を適用する。
• $j_n^*: H^{*}_{S^1}(Y_{n+1}) o H^{*}_{S^1}(Y_n)$の引き戻し写像を用いて、ペテルソンシューベルトクラスの制限が包含関係で保存されることを示す。
• シューベルトクラスの積における構造定数を直接計算し、組合せ論的恒等式を用いて第二種スターリング数に同定する。
• 完全旗多様体とペテルソン多様体の$T$-同調同型と$S^1$-同調同型の関係を示す可換図式を用い、性質を旗多様体からペテルソン多様体へと持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプAのペテルソン多様体の$S^1$-同調同型に対して、任意のシューベルトクラスを次数2の生成子で表すジアムベリの公式を構築できるか？
• RQ2 ペテルソンシューベルトクラスの積における構造定数は、スターリング数の第二種のような既知の組合せ論的数に一致するか？
• RQ3 旗多様体の包含関係における古典的$T$-同調同型シューベルトクラスの安定性に類似した、ペテルソンシューベルトクラスの安定性の性質が存在するか？
• RQ4 次数2の生成子と二次関係のみを用いて、ペテルソン多様体の$S^1$-同調同型環の表現を単純化できるか？
• RQ5 包含関係$Y_n o Y_{n+1}$におけるシューベルトクラスの制限写像はどのように振る舞い、これは一貫した逆系を定義するか？

主な発見

• 任意のペテルソンシューベルトクラスが次数2の生成子の多項式として表現されるジアムベリの公式が確立され、$H^{*}_{S^1}(Y)$の乗法的基底が得られた。
• ペテルソンシューベルトクラスの積における構造定数が第二種スターリング数に一致することが示され、ナルースの予想が裏付けられた。
• ペテルソンシューベルトクラスは安定性の性質を満たす：包含関係$Y_n o Y_{n+1}$において、$p_{w,n+1}$の$Y_n$への制限は$p_{w,n}$に一致し、すべての$m \geq n$で成り立つ。
• 固定点$v \in Y_n^{S^1}$におけるペテルソンシューベルトクラス$p_{w,m}$の制限は$m$に依存せず、$p_{w,n}(v)$に等しくなる。これは次元を越えた一貫性を確認する。
• $H^{*}_{S^1}(Y)$は、次数2のペテルソンシューベルトクラスによって乗法的に生成されることを示し、[7, 第6節]で与えられた表現が単純化された。
• コホロジー環$H^{*}_{S^1}(Y)$の定義イデアルが、二次関係のみによって生成されることを示す予想を提示した。これはより深い代数的構造を示唆する。