[論文レビュー] A Landau-Ginzburg model for Lagrangian Grassmannians, Langlands duality and relations in quantum cohomology

Clélia Pech, Konstanze Rietsch|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ラグランジュ・グラスマンニアン $LG(m)$ に対して、Langlands双対な直交グラスマンニアン $
\mathrm{OG^{co}}(m+1,2m+1)$ 上の有理関数として Landau-Ginzburg モデルを構成し、[Rie08] で既に知られていたスーパopotential と同型であることを証明する。このモデルにより、$LG(m)$ に対するミラー対称性の枠組みが確立され、明示的なスーパopotential の式から新たな量子コホモロジー的関係が明らかにされ、量子シューベルト計算の新たな恒等式が予想される。特に、シューベルト座標 $p_\lambda$ を用いて $LG(2)$ および $LG(3)$ の明示的表現が与えられる。このモデルは、超平面クラスに対応する項の和として反標準クラスを捉え、分母の次数が双対多様体のインデックスと一致する。

ABSTRACT

In [Rie08], the second author defined a Landau-Ginzburg model for homogeneous spaces G/P, as a regular function on an affine subvariety of the Langlands dual group. In this paper, we reformulate this LG-model (X^,W_t) in the case of the Lagrangian Grassmannian LG(m) as a rational function on a Langlands dual orthogonal Grassmannian, in the spirit of work by R. Marsh and the second author [MR12] for type A Grassmannians. This LG model has some very interesting features, which are not visible in the type A case, to do with the non-triviality of Langlands duality. We also formulate a conjecture relating our superpotential with the quantum differential equations of LG(m). Finally, our expression for W_t also leads us to conjecture new formulas in the quantum Schubert calculus of LG(m).

研究の動機と目的

• ラグランジュ・グラスマンニアン $LG(m)$ に対して、Langlands双対な直交グラスマンニアン $\mathrm{OG^{co}}(m+1,2m+1)$ 上の有理関数として明示的な Landau-Ginzburg モデルを構築すること。
• この新しい LG モデルが、[Rie08] で構成されたスーパopotential と、Lie 理論的手段を用いて同型であることを証明すること。
• スーパopotential の構造と量子微分方程式との関係を通じて、$LG(m)$ における新たな量子コホモロジー的構造を明らかにすること。
• スーパopotential $W_t$ の明示的形に基づき、$LG(m)$ の量子シューベルト計算における新たな公式を予想すること。

提案手法

• モデルは Langlands双対群の枠組みを用いて構成され、スーパopotential $W_t$ は、厳密な分割によって添字づけられたシューベルト座標 $p_\lambda$ を用いた $\mathrm{OG^{co}}(m+1,2m+1)$ 上の有理関数として定義される。
• 構成は、$LG(m)$ と双対であるとされる最大直交グラスマンニアン $\mathrm{OG}(m,2m+1)$ と $\mathrm{OG^{co}}(m+1,2m+1)$ の同型を活用する。
• スーパopotential $W_t$ は、各項が超平面クラスに対応する有理関数の和として表現され、$e^t$ 項が量子補正を符号化する。
• モデルが反標準クラスを、分母の次数の和が双対多様体のインデックスに一致することにより回復することを示した（$m=2$ の場合 $4$、$m=3$ の場合 $6$）。
• 同型性の証明は、Chevalley生成子、Weyl群の代表元、および重み空間の計算を含む Lie 理論的データに基づくスーパopotential の同定に依存する。
• $LG(2)$ および $LG(3)$ に対して、Weyl群の構造と最小長の部分群代表元 $w^P$ を用いて $W_t$ の明示的公式が導出され、$e^t$ 項は $m$ 番目の基本表現に関連づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Langlands双対を用いて、$LG(m)$ に対する Landau-Ginzburg モデルをどのように明示的に構築できるか？
• RQ2 $
  \mathrm{OG^{co}}(m+1,2m+1)$ 上に定義された新しいスーパopotential $W_t$ は、[Rie08] のスーパopotential と同型か？
• RQ3 スーパopotential $W_t$ の明示的形から、どのような新たな量子コホモロジー的関係や構造が生じるか？
• RQ4 スーパopotential $W_t$ を用いて、$LG(m)$ の量子シューベルト計算における新たな公式を予想できるか？
• RQ5 特に、$W_t$ の項の構造と分母の次数が、反標準クラスおよび双対多様体のインデックスをどのように反映するか？

主な発見

• LG(2) に対して、スーパopotential は明示的に $W_t = \frac{p_{\ydiagram{1}}}{p_\emptyset} + \frac{p_{\ydiagram{2}}^2}{p_{\ydiagram{1}}p_{\ydiagram{2}} - p_\emptyset p_{\ydiagram{2,1}}} + e^t \frac{p_{\ydiagram{1}}}{p_{\ydiagram{2,1}}}$ と与えられ、$
  \mathrm{OG^{co}}(3,5)$ 上の有理関数である。
• LG(3) に対して、スーパopotential は $W_t = \frac{p_{\ydiagram{1}}}{p_\emptyset} + \frac{p_{\ydiagram{2}}p_{\ydiagram{3}} - p_\emptyset p_{\ydiagram{3,2}}}{p_{\ydiagram{1}}p_{\ydiagram{3}} - p_\emptyset p_{\ydiagram{3,1}}} + \frac{p_{\ydiagram{3,1}}p_{\ydiagram{3,2}} - p_{\ydiagram{3}}p_{\ydiagram{3,2,1}}}{p_{\ydiagram{2,1}}p_{\ydiagram{3,2}} - p_{\ydiagram{2}}p_{\ydiagram{3,2,1}}} + e^t \frac{p_{\ydiagram{2,1}}}{p_{\ydiagram{3,2,1}}}$ と与えられ、$
  \mathrm{OG^{co}}(4,7)$ 上に定義される。
• $W_t$ の項の数は双対多様体のインデックスに一致する：$m=2$ の場合 $4$、$m=3$ の場合 $6$ であり、反標準除数の次数と一致する。
• $W_t$ の分母の次数の和は双対多様体のインデックス（$4$ および $6$）に一致し、$W_t$ がジャコビ環における反標準クラスを表していることが確認された。
• Lie 理論的同定により、$e^t$ 項が $m$ 番目の基本表現と一致し、重み空間解析を用いて [Rie08] のスーパopotential と同型であることが証明された。
• 著者らは、$W_t$ が $LG(m)$ の量子微分方程式に関連していると予想し、スーパopotential の構造に基づいて量子シューベルト計算の新たな公式を提案した。