[論文レビュー] A lattice of combinatorial Hopf algebras, Application to binary trees with multiplicities

Jean-Baptiste Priez|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2013

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ひとこと要約

この論文は、plactic-like モノイドからの多項式実現を介して構成された、組合せ的ホップ代数におけるラティス構造を導入する。sylvester および stalactic モノイドの上限をとることで、重複を許す二分木上の新しいホップ代数を構成し、双対代数 WQSym# における生成関数の技法を用いて、これらの木に対するフック長の公式を証明する。

ABSTRACT

In a first part, we formalize the construction of combinatorial Hopf algebras from plactic-like monoids using polynomial realizations. Thank to this construction we reveal a lattice structure on those combinatorial Hopf algebras. As an application, we construct a new combinatorial Hopf algebra on binary trees with multiplicities and use it to prove a hook length formula for those trees. Dans une première partie, nous formalisons la construction d'algèbres de Hopf combinatoires à partir d'une réalisation polynomiale et de monoïdes de type monoïde plaxique. Grâce à cette construction, nous mettons à jour une structure de treillis sur ces algèbres de Hopf combinatoires. Comme application, nous construisons une nouvelle algèbre de Hopf sur des arbres binaires à multiplicités et on l'utilise pour démontrer une formule des équerres sur ces arbres.

研究の動機と目的

• plactic-like モノイドからの多項式実現を用いた、組合せ的ホップ代数の一般的構成を形式化すること。
• モノイド同値関係のラティスを上げることで、このようなホップ代数におけるラティス構造を明らかにすること。
• この枠組みを用いて、重複付き二分木上の新しいホップ代数を構成すること。
• WQSym の双対における生成関数を用いて、これらの木に対するフック長の公式を証明すること。
• このような構成が、良いモノイドに対して普遍的なフック長の公式をもたらすかどうかを調査すること。

提案手法

• 自由モノイドから語への写像（標準化、パッキング、パーキング）を用いて、ホップ代数の多項式実現を定義する。
• モノイド同値関係（例：sylvester、stalactic、hypoplactic）を用いて同値類を定義し、それらがホップ代数の基底を生成することを示す。
• モノイド同値関係におけるラティス演算（積と和）を、それらから得られるホップ代数へと上げる。
• sylvester および stalactic モノイドの上限として、重複付き二分木上の新しいホップ代数を構成する。
• WQSym# の双対における生成関数を用いて、木の挿入の不動点方程式をモデル化し、双線形写像により木の構造を符号化する。
• 生成関数の係数が、木 T を挿入操作で得る可能性のあるパックド語の数 f(T) に等しいことを証明する。フック長の公式を用いて。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイド同値関係のラティス構造を、組合せ的ホップ代数のラティスへと体系的に持ち上げることは可能か？
• RQ2 二つのモノイド（例：sylvester および stalactic）の上限から得られるホップ代数の構成は、自然なフック長の公式をもたらすか？
• RQ3 [HNT08b] で用いられた生成関数のアプローチを、重複付きの木に対するフック長の公式へ一般化できるか？
• RQ4 標準化、パッキング、パーキングのような写像は、このようなホップ代数の構成において、標準的な役割を果たすか？
• RQ5 すべての「良い」モノイドが、同様の生成関数の構成によりフック長の公式をもたらすか？

主な発見

• plactic-like モノイドからの多項式実現を用いた組合せ的ホップ代数の構成は、モノイド同値関係のラティスと同型なラティス構造を持つ。
• sylvester および stalactic モノイドの上限は、重複付き二分木上の新しいホップ代数を生じさせ、各木が基底元に対応する。
• 与えられた木 T を二分探索木挿入アルゴリズムで得るパックド語の数は、f(T) = |T|! / ∏_{t∈T} (|t| (m(t)−1)!) で与えられ、新しいフック長の公式を証明する。
• WQSym# の双対における生成関数 BT(1) は、Bm(u) = T を満たすすべてのパックド語 u に対する基底元 Su の和に等しく、系列評価により公式が確認される。
• 関数方程式 x = 1 + ∫₀^z e^{sx(s)^2} ds の生成関数解は、木の構造を符号化し、サイズ n の木 T に対して BT(1) = f(T) z^n / n! を得る。
• この手法は [HNT08b] のアプローチを一般化し、これらの木に対する q-アナログのフック長の公式を証明する可能性を示唆する。