[論文レビュー] A Levy-area between Brownian motion and rough paths with applications to robust non-linear filtering and RPDEs

Joscha Diehl, Harald Oberhauser+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、決定的幾何的粗いパスとブラウン運動の間の標準的な共同粗いパスのリフトを確立し、ブラウン運動と粗いパスの両方によって駆動されるハイブリッド確率微分方程式の厳密な定式化を可能にする。解写像が局所リプシッツ連続であることを証明し、共同リフトのガウス型尾部推定を得て、一様可積分性の境界を伴う強固な非線形フィルタリングおよびRPDEの粘性解を可能にする。

ABSTRACT

We give meaning to differential equations with a rough path term and a Brownian noise term as driving signals. Such differential equations as well as the question of regularity of the solution map arise naturally and we discuss two applications: one revisits Clark's robustness problem in nonlinear filtering, the other is a Feynman--Kac type representation of linear RPDEs. En passant, we give a short and direct argument that implies integrability estimates for rough differential equations with Gaussian driving signals which is of independent interest.

研究の動機と目的

• 2つの粗いパスの一般的な共同リフトが存在しないにもかかわらず、決定的粗いパスとブラウン運動の間の標準的な共同粗いパスのリフトを定義すること。
• ベクトル場の非自明なリーブラケットを持つ場合に、ブラウン運動と粗いパスの両方によって駆動されるハイブリッドSDEに意味を与えること。
• 粗いパス空間から適応確率過程への解写像の、$L^q$ノルム下での局所リプシッツ連続性を確立すること。
• ガウス信号によって駆動される粗い微分方程式のための可積分性推定を再考し、粗いパスパラメータに一様なガウス型尾部境界を証明すること。

提案手法

• イト積分近似を用いて、決定的ステップ2の粗いパス $\boldsymbol{\eta}$ とブラウン運動 $B$ の間の、$\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ と呼ばれる標準的共同リフトである確率過程を構成する。
• 共同リフト $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ を用いて、$S_t^\eta = S_0 + \int a(S_r^\eta)dr + \int b(S_r^\eta)\circ dB_r + \int c(S_r^\eta)d\boldsymbol{\eta}_r$ の形のハイブリッドSDEの解を、粗い微分方程式（RDE）の定式化により定義する。
• ガウス過程へのフリッツ＝ビトゥアールのリフトを適用し、共同リフト $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ の $p$-変動およびホルダー正則性の推定を得る。
• イト積分近似に基づく新規な議論を用いて、$\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ がほとんど確実に幾何的粗いパスであり、時間シフト不変性を満たすことを証明する。
• 埋め込み定理とモーメント評価を用いて、$\beta$-変動ノルム $N_\beta(\boldsymbol{\Lambda}^\eta;[0,T])$ のガウス型尾部推定を得る。
• これらの可積分性結果を応用し、粗いパスパラメータ $\boldsymbol{\eta}$ に一様な指数モーメントを有する粗いストラス確率微分方程式（RSDE）の解を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの粗いパスの一般的な共同リフトが存在しないにもかかわらず、決定的粗いパスとブラウン運動の間で標準的共同粗いパスのリフトを構成できるか？
• RQ2 ベクトル場の非自明なリーブラケットを持つ場合に、ブラウン運動と粗いパスの両方によって駆動されるハイブリッドSDEをどのように厳密に定義できるか？
• RQ3 粗いパス空間から適応過程空間への解写像 $\boldsymbol{\eta} \mapsto S^\boldsymbol{\eta}$ は、$L^q$-ノルム下でホルダー空間 $\mathcal{C}^{0,\alpha}$ から局所リプシッツ連続か？
• RQ4 共同リフト $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ によって駆動される粗い微分方程式の解は、すべての $\boldsymbol{\eta}$ に対して一様なガウス型可積分性推定を満たすか、特に有界ホルダーノルム集合上で？
• RQ5 ガウス的粗いパスのための可積分性理論を拡張し、$\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ によって駆動されるRSDEの解に対して、一様な指数モーメントを得られるか？

主な発見

• 決定的ステップ2の粗いパス $\boldsymbol{\eta}$ とブラウン運動 $B$ の間で、時間シフト不変性およびほとんど確実な幾何的粗いパス性質を満たす標準的共同粗いパスのリフト $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ が存在する。
• 解写像 $\boldsymbol{\eta} \mapsto S^\boldsymbol{\eta}$ は、ホルダー空間 $\mathcal{C}^{0,\alpha}$ から $L^q$-有界な適応過程の空間への局所リプシッツ連続性を有する。
• 任意の $r>0$ に対して、$\delta>0$ が存在し、$\sup_{\|\boldsymbol{\eta}\|_{\alpha-\text{H}\ddot{o}l} \leq r} \mathbb{E}\left[\exp\left(\delta N_\beta(\boldsymbol{\Lambda}^\eta;[0,T])^2\right)\right] \leq \frac{1}{\delta}$ を満たす。これはガウス型尾部減衰を証明する。
• 共同リフト $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ は、$\mathbb{P}[\boldsymbol{\Lambda}^\eta(\omega + h) = T_h \boldsymbol{\Lambda}^\eta(\omega) \text{ for all } h \in \mathcal{H}(\mathbb{R}^e)] = 1$ を満たし、ウィenerクラウス構造と整合性を保つ。
• RSDEの解に対する可積分性推定は $\boldsymbol{\eta}$ に一様であり、有界ホルダーノルム集合上で一様に指数モーメントが有界である。
• 本結果は、非線形フィルタリングにおけるクラークのレジリエンス問題を回復・拡張し、線形粗いパスノイズを伴うPDEの解に対してフェインマン＝カック表現を提供する。