[論文レビュー] Jain-Monrad criterion for rough paths and applications

Peter K. Friz, Benjamin Gess+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、ガウス過程における確率積分のための洗練された基準を、粗いパス理論を用いて提示する。ジャイン＝モナド条件を共分散構造に適用することで、経路ごとの積分とマリヤン・正則性を可能にする。確率的フーリエ級数の近似における収束速度を確立し、SPDE や非マルコフ型ホルメル理論への応用を示す。これにより、カマロン＝マーチン経路に関する先行研究および補完的ヤング正則性の結果が拡張される。

ABSTRACT

We discuss stochastic calculus for large classes of Gaussian processes, based on rough path analysis. Our key condition is a covariance measure structure combined with a classical criterion due to Jain-Monrad [Ann. Probab. (1983)]. This condition is verified in many examples, even in absence of explicit expressions for the covariance or Volterra kernels. Of special interest are random Fourier series, with covariance given as Fourier series itself, and we formulate conditions directly in terms of the Fourier coefficients. We also establish convergence and rates of convergence in rough path metrics of approximations to such random Fourier series. An application to SPDE is given. Our criterion also leads to an embedding result for Cameron-Martin paths and complementary Young regularity (CYR) of the Cameron-Martin space and Gaussian sample paths. CYR is known to imply Malliavin regularity and also It\^o-like probabilistic estimates for stochastic integrals (resp. stochastic differential equations) despite their (rough) pathwise construction. At last, we give an application in the context of non-Markovian H\ormander theory. The results include and extend those of [arXiv:1211.0046].

研究の動機と目的

• 一般のガウス過程に対して、粗いパス理論を用いて堅牢な確率的微積分枠組みを構築すること。
• 補完的ヤング正則性を通じて、経路ごとの確率積分へとマリヤン正則性とイト型推定を拡張すること。
• 明示的なボルテラカーネルや共分散表現がなくても適用可能な、共分散構造に基づく一般基準を提供すること。
• 粗いパス距離における確率的フーリエ級数の近似の収束および収束速度を確立すること。
• SPDE や非マルコフ型ホルメル理論への枠組みの応用により、先行研究を一般化すること。

提案手法

• 共分散測度構造を通じて、ガウス過程に対するジャイン＝モナド基準を適応させ、粗いパス統計的積分を可能にする。
• この条件を用いて、カマロン＝マーチン空間と標本パス間の補完的ヤング正則性（CYR）を導出する。
• フーリエ係数に直接的な条件を定式化することで、確率的フーリエ級数への基準の適用を行う。
• このような級数の近似における収束を粗いパス距離で確立し、明示的な収束速度を導出する。
• 粗いパス技法を用いて、粗さがあるにもかかわらず経路ごとの方法で確率積分とSDEを構築する。
• 枠組みをSPDEおよび非マルコフ型ホルメル理論に応用し、より広範な適用可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的なボルテナカーネルがなくても、一般のガウス過程に対してジャイン＝モナド基準を適応させ、粗いパス確率微積分を可能にすることができるか？
• RQ2 確率的フーリエ級数の文脈において、フーリエ係数にどのような条件を課すと補完的ヤング正則性およびマリヤン正則性が保証されるか？
• RQ3 提案された基準下で、確率的フーリエ級数の粗いパス近似の収束速度は何か？
• RQ4 この枠組みを粗いガウスノイズによって駆動されるSPDEにどのように拡張できるか？
• RQ5 この基準は、非マルコフ型ホルメル型理論における退化性の理論をどのように支援するか？

主な発見

• 共分散構造におけるジャイン＝モナド条件は、カマロン＝マーチン経路と標本パスの間の補完的ヤング正則性を保証し、経路ごとの確率的微積分を可能にする。
• 本枠組みは、明示的なカーネル表現がなくても、フーリエ係数に直接的な条件を課すことで、確率的フーリエ級数に適用可能である。
• 確率的フーリエ級数の粗いパス近似における収束速度が確立され、近似誤差の定量的制御が可能になる。
• 経路ごとの構成にもかかわらず、確率積分に対してマリヤン正則性とイット型推定が得られる。
• 理論はSPDEおよび非マルコフ型ホルメル理論に拡張され、arXiv:1211.0046の先行研究を一般化する。
• カマロン＝マーチン経路の埋め込み結果が導出され、再生核ヒルベルト空間の構造と粗いパス正則性が結びつけられる。