[論文レビュー] A multipartite version of the Hajnal-Szemerédi theorem for graphs and hypergraphs

Allan Lo, Klas Markström|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、グラフおよび超グラフにおけるHajnal-Szemerédi定理のマルチパーティット版を確立し、十分に大きな $ n $ に対して、最小コードグラフが $ \left(\frac{t-1}{t} + \gamma\right)n $ を超えるバランスの取れた $ t $-パーティットグラフが、完全な $ K_t $-マッチングを含むことを証明する。これはFischerの予想を漸近的に確認するものであり、コードグラフ条件を用いて $ k $-一様超グラフへと拡張される。確率的分割と集中不等式を用いて、エッジが各部にわたってどのように分布するかを制御する。

ABSTRACT

A perfect $K_t$-matching in a graph $G$ is a spanning subgraph consisting of vertex disjoint copies of $K_t$. A classic theorem of Hajnal and Szemerédi states that if $G$ is a graph of order $n$ with minimum degree $δ(G) \ge (t-1)n/t$ and $t| n$, then $G$ contains a perfect $K_t$-matching. Let $G$ be a $t$-partite graph with vertex classes $V_1$,..., $V_t$ each of size $n$. We show that if every vertex $x \in V_i$ is joined to at least $((t-1)/t + γ)n $ vertices of $V_j$ for $i e j$, then $G$ contains a perfect $K_t$-matching, thus verifying a conjecture of Fisher asymptotically. Furthermore, we consider a generalisation to hypergraphs in terms of the codegree.

研究の動機と目的

• Fischerが提起した、より良い最小コードグラフ条件の下でバランスの取れた $ t $-パーティットグラフに完全な $ K_t $-マッチングが存在するかを解明すること。
• Hajnal-Szemerédi定理を、グラフおよび $ k $-一様超グラフの両方のマルチパーティット設定に一般化すること。
• 最小 $ l $-グラフ度条件の下で、$ t $-パーティット $ k $-グラフに完全な $ K_t^k $-マッチングが漸近的に存在することを確立すること。
• 正則化補題に依存する既存の証明とは対照的に、著しく小さい $ n_0 $ を得る構成的かつ確率的メソッドを提供すること。

提案手法

• 与えられた $ k $-グラフ $ H $ から、頂点を $ t $ 個のクラスに確率的分割することで、バランスの取れた $ t $-パーティット部分グラフ $ H' $ を構成する。
• Chernoffの不等式を用いて、頂点集合のリンク超グラフにおけるマッチングが各部に不均等に分布する確率を抑え込む。
• リンク超グラフを $ O(n^{k-2}) $ 個の辺を共有しないマッチングに分解し、確率的解析を可能にする。
• 集中不等式を用いて、すべての $ l $-集合が $ H' $ で期待値 $ \frac{m!}{t^m}\deg^H(T) $ に近いコードグラフを持つ確率が正であることを示す（$ m = k-l $）。
• 最大 $ O(n^{1/2} (\ln n)^{1/4}) $ 個の頂点を再配分することで、正確な等分割を達成しつつ、コードグラフ推定値を保持する。
• 重要な不等式を導出：$ \deg^{H'}_J(T) \geq \frac{m!}{t^m}\deg^H(T) - O(\sqrt{k \ln n} \cdot n^{m - 1/2}) $ であり、これによりコードグラフの保存が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バランスの取れた $ t $-パーティットグラフがコードグラフを $ \left(\frac{t-1}{t} + \gamma\right)n $ 以上に持つとき、十分に大きな $ n $ に対して完全な $ K_t $-マッチングを含むか？
• RQ2 Hajnal-Szemerédi定理は、$ \left(\frac{t-1}{t}\right)n $ の閾値をわずかに上回る余裕をもってマルチパーティット設定に拡張可能か？
• RQ3 完全な $ K_t^k $-マッチングを保証するための最小コードグラフ条件は何か？
• RQ4 正則化補題に依存する証明とは対照的に、このようなマッチングのための閾値 $ n_0 $ を著しく小さくできるか？

主な発見

• 任意の $ \gamma > 0 $ に対して、$ n_0 = n_0(t, \gamma) $ が存在し、$ n \geq n_0 $ かつ $ \widetilde{\delta}(G) \geq \left(\frac{t-1}{t} + \gamma\right)n $ を満たすすべてのバランスの取れた $ t $-パーティットグラフは、完全な $ K_t $-マッチングを含む。
• この結果はFischerの予想を漸近的に確認し、$ +\gamma n $ の余裕が十分に大きな $ n $ に対して十分であることを示している。
• 本手法は、正則化補題を用いたKeevashとMycroftの証明と比較して、はるかに小さい $ n_0 $ を得る。
• $ k $-一様超グラフにおいて、$ \widetilde{\delta}_l(H) \geq \phi_l^k(t,n) $ が完全な $ K_t^k $-マッチングを保証することを確立した。ここで $ \phi_l^k(t,n) $ は、このようなコードグラフ閾値の最小値として定義される。
• 確率的分割法により、誘導された $ t $-パーティット部分グラフが、$ O(\sqrt{k \ln n} \cdot n^{m - 1/2}) $ の誤差項までコードグラフを保存することが保証される（$ m = k-l $）。
• 解析により、高確率ですべての $ l $-集合が $ t $-パーティット部分グラフで期待値に近いコードグラフを持つことが示され、完全マッチングの構成が可能になる。