[論文レビュー] A new description of equivariant cohomology for totally disconnected groups

Christian Voigt|ArXiv.org|Dec 7, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、完全不連結群の不変コホモロジーの新しい記述を確立する。バームとシュナイダーの二重不変コホモロジーが、有限次元かつ局所有限な $G$-単体複体上の滑らかな作用に関して、不変周期的循環ホモロジーと自然に同型であることを示す。主な貢献は、次の自然同型である：$ HP^{G}_{*}(C^{\tiny{\infty}}_{c}(X),C^{\tiny{\infty}}_{c}(Y)) \cong \bigoplus_{j\in\mathbb{Z}}H^{*+2j}_{G}(X,Y) $。これは、循環ホモロジーによるアプローチを統合し、バーム＝コンヌ予想の文脈におけるこれらのコホモロジー理論の構造を解明する。

ABSTRACT

We consider smooth actions of totally disconnected groups on simplicial complexes and compare different equivariant cohomology groups associated to such actions. Our main result is that the bivariant equivariant cohomology theory introduced by Baum and Schneider can be described using equivariant periodic cyclic homology. This provides a new approach to the construction of Baum and Schneider as well as a computation of equivariant periodic cyclic homology for a natural class of examples. In addition we discuss the relation between cosheaf homology and equivariant Bredon homology. Since the theory of Baum and Schneider generalizes cosheaf homology we finally see that all these approaches to equivariant cohomology for totally disconnected groups are closely related.

研究の動機と目的

• 完全不連結群に対する不変コホモロジーの別々のアプローチを統一すること。
• バーム＝シュナイダーの意味での二重不変コホモロジーと不変周期的循環ホモロジーの明確な関係を確立すること。
• $G$-単体複体上での不変ブレドンホモロジーとコシーフホモロジーが自然に同型であることを示すこと。
• 幾何的設定における不変周期的循環ホモロジーの計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 単体複体上の滑らかな $G$-不変関数で compact な台を持つもの、すなわち $C^{\tiny{\infty}}_{c}(X)$ を、循環ホモロジー枠組みにおける代数として用いる。
• 微分形式と循環ホモロジーを結びつけるために、ホッホシュライブ＝コスタンツ＝ローゼンバーグ定理の不変版を適用する。
• コシーフホモロジーからブレドンホモロジーへの自然なチェーン写像 $\phi$ を構成し、それが同型であることを示す。
• 完全不連結群 $G$ が滑らかで固有な作用を持つ、固有の単体複体としての $G$-単体複体を定義する。
• 安定化部分群の表現環 $\mathcal{R}(G_\sigma)$ 間の誘導写像 $\iota^\eta_\sigma$ を用いて、コシーフ構造を定義する。
• 明示的な逆写像 $\psi$ を通じて、$\phi: S^G_*(X;\mathcal{R}_X) \to C^*_{\text{Or}(G,\mathcal{F})}(X;\mathcal{R})$ の同型を証明し、チェーンレベルの同値性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全不連結群に対して、二重不変コホモロジー（バーム＝シュナイダー）と不変周期的循環ホモロジーの関係は何か？
• RQ2 バームとシュナイダーの理論は、単体複体上の滑らかな作用に関して、循環ホモロジーの観点から再解釈可能か？
• RQ3 $G$-単体複体の文脈において、不変ブレドンホモロジーとコシーフホモロジーは同型か？
• RQ4 この設定において、周期的循環ホモロジーとバーム＝コンヌ予想の正確な関係は何か？

主な発見

• 不変周期的循環ホモロジーと二重不変コホモロジーとの間で自然な同型が確立された：有限次元かつ局所有限な $G$-単体複体で $X$ が固有であるとき、$ HP^{G}_{*}(C^{\tiny{\infty}}_{c}(X),C^{\tiny{\infty}}_{c}(Y)) \cong \bigoplus_{j\in\mathbb{Z}}H^{*+2j}_{G}(X,Y) $。
• コシーフホモロジーと不変ブレドンホモロジーが、$G$-単体複体の圏上で自然に同型であることが示された。逆のチェーン写像 $\phi$ と $\psi$ を構成することで証明された。
• 写像 $\phi$ は $G$-作用と余不変量を尊重するチェーン写像であり、その逆写像 $\psi$ は元のチェーン複体を再構成する。
• 多様体上に作用する離散群に対するバーム＝コンヌ理論は、主な同型の変種を通じて特別な場合として回復される。
• 循環ホモロジーにおける共変モジュールの構造を解析するために、$G$ を楕円的および双曲的要素に分解する手法が用いられた。
• 単体複体からの幾何的データを用いて、不変周期的循環ホモロジーのための新しい計算フレームワークが提供された。