[論文レビュー] A new kind of augmentation of filtrations

Joseph Najnudel, Ashkan Nikeghbali|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、右連続性と通常の条件の間にある新たなフィルトレーションの拡張であるN-増強を導入し、整合的な確率測度族の拡張と確率過程の正規バージョンの存在という矛盾を解消する。N-増強のもとで、初期時刻の定理や càdlàg または連続な適応バージョンの存在といった主要な結果が成り立つことが示され、同時に測度の拡張が可能である場合にその可能性を保ち続ける。

ABSTRACT

Let $(Ω,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0},\mathbb{P})$ be a filtered probability space satisfying the usual assumptions: it is usually not possible to extend to $\mathcal{F}_{\infty}$ (the $σ$-algebra generated by $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$) a coherent family of probability measures $(\mathbb{Q}_t)$, each of them being defined on $\mathcal{F}_t$. It is known that for instance, on the Wiener space, this extension problem has a positive answer if one takes the filtration generated by the coordinate process, but can have a negative answer if one takes its usual augmentation. On the other hand, the usual assumptions are crucial in order to obtain the existence of regular versions of paths for most stochastic processes of interest, such as the local time of the standard Brownian motion, stochastic integrals, etc. In order to fix this problem, we introduce a new property for filtrations, intermediate between the right continuity and the usual conditions. We show that most of the important results of the theory of stochastic processes which are generally proved under the usual augmentation, such as the existence of regular version of trajectories or the début theorem, still hold under the N-augmentation; moreover this new augmentation allows the extension of a coherent family of probability measures whenever this is possible with the original filtration.

研究の動機と目的

• 通常の増強によって妨げられる整合的確率測度族の拡張と、正規バージョン（例：càdlàg 局所時間）の存在との間の不整合を解消すること。
• 通常の条件より弱いが、大多数の確率過程の結果に十分な新たなフィルトレーションの性質「N-通常の仮定」を提案すること。
• N-増強が、パスの正規バージョンの存在を保ちつつ、元のフィルトレーションが許す場合には測度の拡張を可能にすることを示すこと。
• 基礎的な空間 $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ および $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ において、N-増強のもとで整合的測度族が拡張可能であることを示すこと。

提案手法

• N-増強を、元のフィルトレーションに加え、各 $\mathcal{F}_0$ に含まれる、$\mathcal{F}_n$ の零集合 $B_n$ の可算和の部分集合である集合を含む最小のフィルトレーションとして定義する。
• N-通常の仮定を導入：右連続性および $\mathcal{F}_0$ が $\mathcal{F}_n$ の零集合の可算和の部分集合をすべて含むこと。
• N-増強のもとで、初期時刻の定理や、確率過程（例：局所時間）の càdlàg／連続な適応バージョンの存在が依然として成り立つことを証明する。
• 測度族 $\mathbb{Q}_t$ が $\mathcal{F}_t$ 上で $\mathbb{P}_t$ に関して絶対連続であれば、N-増強のもとで $\mathbb{Q}$ は一意に $\mathcal{F}_\infty$ に拡張可能であることを確立する。
• 測度 $\mathbb{Q}_t \ll \mathbb{P}_t$ のもとで、$\mathbb{P}$ におけるN-無視可能集合が $\mathbb{Q}$ においてもN-無視可能のまま残ることを用いて、拡張の一貫性を保証する。
• 測度の拡張が可能となるParthasarathy型の条件を想起し、それが $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ および $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ で満たされることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常の増強が測度の拡張を妨げる場合でも、N-増強のもとで整合的確率測度族 $\mathbb{Q}_t$ が $\mathcal{F}_\infty$ に拡張可能であり、かつ確率過程の正規バージョンを保つことができるか？
• RQ2 通常の条件より厳密に弱いが、局所時間のような過程の càdlàg や連続な適応バージョンの存在を保証する十分なフィルトレーションの増強は存在するか？
• RQ3 N-増強は初期時刻の定理や確率過程理論の基礎的結果を保つのに十分か？
• RQ4 ウィーナー空間において、N-増強は測度の拡張と同時にゼロにおける局所時間の càdlàg バージョンの存在を両立可能か？
• RQ5 N-通常の仮定は、$\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ や $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ といった基礎的空間におけるパスの正規バージョンの存在に十分か？

主な発見

• フィルトレーションのN-増強は、ブラウン運動のゼロにおける局所時間のような確率過程の càdlàg または連続な適応バージョンの存在を保つ。
• N-増強のもとで、初期時刻の定理は依然有効であり、オプションおよび予測可能時刻の可測性が保証される。
• 測度族 $\mathbb{Q}_t$ が $\mathcal{F}_t$ 上で $\mathbb{P}_t$ に関して絶対連続であれば、N-増強のもとで $\mathbb{Q}$ は一意に $\mathcal{F}_\infty$ に拡張可能である。
• $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ および $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ において、座標過程のフィルトレーションを備えた空間では、N-増強のもとで整合的測度族は常に $\mathcal{F}_\infty$ に拡張可能である。
• N-増強は、$\mathbb{Q}_t \ll \mathbb{P}_t$ のもとで、$\mathbb{P}$ におけるすべてのN-無視可能集合が $\mathbb{Q}$ においてもN-無視可能のまま残ることを保証し、拡張された測度の一意性と一貫性を保証する。
• N-増強は通常の増強より厳密に弱いが、正規バージョンの存在や測度の拡張といった確率解析の核となる結果を維持するのに十分である。