[論文レビュー] A noncommutative Atiyah-Patodi-Singer index theorem in KK-theory

Alan L. Carey, Jessica Phillips+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、APS境界条件を用いたマッピングコーン枠組みを構築することで、KK理論におけるアティyah-パトディ-サイモン指数定理の非可換類似を確立する。主な結果として、局所的に有限で、出力源も吸収源も持たない有向グラフのグラフC*-代数に対して、マッピングコーン代数から固定点代数へのインデックス写像が同型であることが示され、APS境界条件によって完全なK理論的情報を得られることを示している。

ABSTRACT

We investigate an extension of ideas of Atiyah-Patodi-Singer (APS) to a noncommutative geometry setting framed in terms of Kasparov modules. We use a mapping cone construction to relate odd index pairings to even index pairings with APS boundary conditions in the setting of KK-theory, generalising the commutative theory. We find that Cuntz-Kreiger systems provide a natural class of examples for our construction and the index pairings coming from APS boundary conditions yield complete K-theoretic information about certain graph C*-algebras.

研究の動機と目的

• Kasparovモジュールを用いて非可換幾何学におけるアティyah-パトディ-サイモン指数定理を拡張すること。
• KK理論におけるマッピングコーン構成を用いて、APS境界条件のもとで奇数インデックスペアリングと偶数インデックスペアリングを関連させること。
• クントツ・クリーガー系が、グラフC*-代数の完全なK理論的データをAPSインデックスペアリングによって与える自然な例を示すこと。
• 出力源も吸収源も持たない広範なクラスのグラフC*-代数において、マッピングコーン代数から固定点代数へのインデックス写像が同型であることを確立すること。

提案手法

• KK理論における奇数および偶数インデックスペアリングを関連付けるためにマッピングコーン構成を用いる。
• 半無限のシリンダー上のヒルベルト空間バンドルにAPS境界条件を備えたカスパロフモジュールを定義する。
• ディラック型作用素 $\hat{\mathcal{D}}$ を、$\partial_t + \mathcal{D}$ および $-\partial_t + \mathcal{D}$ を含むブロック行列として構成し、$\mathcal{D}$ の核に対して特別な取り扱いを行う。
• Pimsner-Voiculescu完全系列と双対ゲージ作用を用いて、グラフC*-代数のK理論を分析する。
• カスパロフ積を用いて、$K_0(M(F,A))$ から $K_0(F)$ へのインデックス写像を定義する。ここで $F$ は固定点代数である。
• スペクトル理論およびパラメトリクス構成を用いて、解像作用素の自己共役性およびコンパクト性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的APS指数定理は、KK理論を用いて非可換幾何学へ一般化可能か？
• RQ2 マッピングコーン構成を通じて、非可換設定における奇数および偶数インデックスペアリングはどのように関連するか？
• RQ3 クントツ・クリーガー系は、APS境界条件がグラフC*-代数の完全なK理論的情報を与える自然な例を提供するか？
• RQ4 出力源も吸収源も持たないグラフC*-代数に対して、マッピングコーン代数から固定点代数へのインデックス写像は同型か？

主な発見

• 局所的に有限で、連結で、出力源も吸収源も持たない有向グラフに対して、インデックス写像 $\mathrm{Index}_{\hat{\mathcal{D}}}: K_0(M(F,A)) \to K_0(F)$ は同型である。
• APSカスパロフモジュールによるインデックスペアリングは、グラフ $C^*$-代数の完全な $K_0$-理論的構造を回復する。
• 写像 $K_0(M(F,A)) \to K_0(F)$ は加法群として $K_0(F)$ に同型であり、Cuntz代数 $O_n$ に対しては $K_0(M(F,A)) \cong (n-1)\mathbb{Z}[1/n]$ である。
• 射影 $[S_\mu S_{\overline{\mu}}^*]$ のインデックスは $\sum_{j=0}^{|μ|-1} [S_{\overline{\mu}} S_{\overline{\mu}}^*] \sim \sum_{j=0}^{|μ|-1} n^{-(|μ|-j)}$ に等しく、$\mathbb{Z}[1/n]$ に属する有理数を与える。
• 一般には評価写像 $ev_*$ は単射でも全射でもないが、インデックス写像がそれを補って同型を達成する。
• この構成により、可換な場合に $K_1(C(X)) \cong K_0(M(\mathbb{C}, C(X)))$ が成り立ち、マッピングコーンを用いたサスペンション性の一般化が得られる。