[論文レビュー] A note on conformal symmetry in projective superspace

Radu A. Ionaş, Andrew Neitzke|ArXiv.org|Nov 13, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、射影的超対称空間におけるスーパopotential $ G $ が $ \mathbb{CP}^1 $ 上のラインバンドル $ \mathcal{O}(2) $ のセクションであるという十分条件を確立し、それにより作用が $ SU(2) \times \mathbb{R}^\times $ 超共形対称性を持つことを示している。この条件が成り立つと、一般化されたレジェンドル変換によって得られるハイパーケーラー多様体がスワーンバンドルとなり、$ \mathbb{H}^\times $ の作用に関して不変なハイパーケーラー汎関数を持つことを示している。

ABSTRACT

We describe a sufficient condition for actions constructed in projective superspace to possess an SU(2) R-symmetry. We check directly that this condition implies that the corresponding hyperkahler varieties, constructed by means of the generalized Legendre transform, have a Swann bundle structure.

研究の動機と目的

• 射影的超対称空間における超場に課される幾何的条件を同定し、それが $ SU(2) \times \mathbb{R}^\times $ 超共形対称性を保証することを示すこと。
• この対称性が一般化されたレジェンドル変換によって構成されるハイパーケーラー多様体に与える幾何的意味を明確にすること。
• 条件 $ G \in \mathcal{O}(2) $ が、得られるハイパーケーラー空間が $ \mathbb{H}^\times $-不変なハイパーケーラー汎関数を持つスワーンバンドルであることを示すこと。
• $ G $ に関する代数的条件が、平坦空間、トーブ＝ニュートン、および c-写像計量といった既知のハイパーケーラー計量の構成とどのように関係するかを明らかにすること。
• 一般化されたレジェンドル変換の構成が、すべての複素構造に対して同時にケーラー汎関数をもたらすのはどのような場合かという問題を解消すること。

提案手法

• 本稿は、フェルミオン的方向が $ SU(2)_{R} $-不変測度 $ \mu_f \in \mathcal{O}(-4) $ を持ち、正則1形式 $ \mu_b \in \mathcal{O}(2) $ を持つ、座標に依存しない解析的超空間 $ \mathbb{A} = \mathbb{R}^{4} \times \mathbb{CP}^1 $ の定式化を用いる。このとき $ \mu = \mu_b \times \mu_f \in \mathcal{O}(-2) $ となる。
• 作用を $ S = \int d^4x \oint_{\mathcal{C}} \mu \, G $ と定義し、$ G \in \mathcal{O}(2) $ のとき $ S $ が $ SU(2)_{R} \times \mathbb{R}^\times $ に対して不変であることを示している。
• 一般化されたレジェンドル変換を $ G $ に適用し、ハイパーケーラー多様体 $ \mathcal{M} $ のケーラー汎関数 $ K $ を得る。このとき、超場から導かれる正則座標が用いられる。
• 本稿は $ \mathbb{H}^\times $ が $ \mathcal{M} $ に作用する様子を分析し、スケーリング生成子 $ X_0 $ が $ X_0(\chi) = 2\chi $ として作用すること、および等長生成子 $ X_i $ が $ X_i(\chi) = 0 $ を満たすことから、$ \chi $ がハイパーケーラー汎関数であることが示されている。
• 既存の構成（c-写像やモノポールモジュリ空間など）と $ \mathcal{O}(2) $ 条件を比較し、平坦計量やトーブ＝ニュートン空間といった既知の例でこの条件が成立することを検証している。
• また、$ G $ が $ \mathcal{O}(2) $ に属さない場合（例：$ \mathcal{O}(4) $ 項を含むトーブ＝ニュートンの場合）を検討し、$ SU(2) $ 対称性が破れるが、$ SO(3) $ 等長対称性が残り、複素構造を回転させる作用が残ることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的超対称空間におけるスーパopotential $ G $ にどのような条件が課されると、作用が $ SU(2) \times \mathbb{R}^\times $ 超共形対称性を持つようになるか？
• RQ2 $ G $ に $ \mathcal{O}(2) $ 条件が課されたとき、一般化されたレジェンドル変換によって構成されるハイパーケーラー多様体 $ \mathcal{M} $ にどのような幾何的構造が生じるか？
• RQ3 一般化されたレジェンドル変換の構成が、$ \mathcal{M} $ のすべての複素構造に対して同時にケーラー汎関数をもたらすか？ そしてその条件は何か？
• RQ4 $ \mathcal{O}(2) $ 条件は、$ \mathbb{H}^\times $ 上の平坦計量、トーブ＝ニュートン、c-写像空間といった既知のハイパーケーラー計量とどのように関係するか？
• RQ5 トーブ＝ニュートンの場合に $ G $ が $ \mathcal{O}(2) $ に属さない（例：$ \mathcal{O}(4) $ 項がある）と、等長対称性の構造はどのように変化するか？

主な発見

• スーパopotential $ G $ が $ \mathbb{CP}^1 $ 上の $ \mathcal{O}(2) $ のセクションであるという条件は、作用が $ SU(2) \times \mathbb{R}^\times $ 超共形対称性を持つために十分である。
• この対称性は、一般化されたレジェンドル変換によって得られるハイパーケーラー多様体 $ \mathcal{M} $ がスワーンバンドルであることを示し、$ \mathbb{H}^\times $ の作用（スケーリングと三重正則等長対称）を許容することを意味する。
• 一般化されたレジェンドル変換により得られる関数 $ \chi $ は、$ \mathcal{M} $ のすべての複素構造に対して同時にケーラー汎関数となり、この $ \chi $ はハイパーケーラー汎関数と一致する。
• スケーリング生成子 $ X_0 $ は $ \chi $ に対して $ X_0(\chi) = 2\chi $ として作用し、等長生成子 $ X_i $ は $ X_i(\chi) = 0 $ を満たすため、$ \chi $ がハイパーケーラー汎関数であることが確認される。
• トーブ＝ニュートンの場合、$ G $ が $ \mathcal{O}(2) $ に属さないが、$ SO(3) $ 等長対称性は残り、複素構造の非三重正則回転を実現する。
• 同次型汎関数 $ \mathcal{F} $ が次数2である $ n+1 $ 個の $ \mathcal{O}(2) $ マルチプレットからなる $ F $-汎関数に対して、この構成は $ n+1 $ 個の可換な $ U(1) $ 等長対称性を持つスワーンバンドルを生成し、c-写像と整合的である。