[論文レビュー] A note on QUBO instances defined on Chimera graphs

Sanjeeb Dash|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、McGeochとWangのD-Wave Two実験で得られたQUBOインスタンス（Chimeraグラフ上）が、1コアで100秒未塔でCPLEXの混合整数線形プログラミング（MILP）ソルバを用いて最適解が得られることを示している。これは、CPLEXのMIQPソルバが報告した30分に比べて著しく高速である。この高速化にもかかわらず、D-Waveシステムは依然としてこれらのインスタンスでCPLEXを上回っている。これは、量子優位性が正確な最適化ではなく、ヒューリスティックな効率性に起因する可能性を示唆している。

ABSTRACT

McGeoch and Wang (2013) recently obtained optimal or near-optimal solutions to some quadratic unconstrained boolean optimization (QUBO) problem instances using a 439 qubit D-Wave Two quantum computing system in much less time than with the IBM ILOG CPLEX mixed-integer quadratic programming (MIQP) solver. The problems studied by McGeoch and Wang are defined on subgraphs -- with up to 439 nodes -- of Chimera graphs. We observe that after a standard reformulation of the QUBO problem as a mixed-integer linear program (MILP), the specific instances used by McGeoch and Wang can be solved to optimality with the CPLEX MILP solver in much less time than the time reported in McGeoch and Wang for the CPLEX MIQP solver. However, the solution time is still more than the time taken by the D-Wave computer in the McGeoch-Wang tests.

研究の動機と目的

• McGeochとWangのD-Wave実験で得られたQUBOインスタンスが、Chimeraグラフ上に定義されていても、高速な古典的アルゴリズムが利用可能であるにもかかわらず、D-Wave Twoがなぜ古典的ソルバーよりも優れているのかを調査すること。
• CPLEXのMILPソルバが、McGeochとWangのD-Wave実験から得られたQUBOインスタンスに対して、特にその報告されたMIQPソルバの実行時間と比較して、どの程度の性能を示すかを評価すること。
• 特に非ゼロの外部場の存在が、古典的ソルバがQUBOインスタンスを解く難易度に与える影響を評価すること。
• 量子ハードウェアが最適性保証を持たないにもかかわらず、ヒューリスティック手法が同様のインスタンスに対してD-Waveシステムを模倣または上回る性能を示せるかどうかを検討すること。
• カットプレーンとソルバーパラメータが、古典的ハードウェア上での構造的QUBOインスタンスの解法をどの程度加速するかを検討すること。

提案手法

• McGeochとWangのD-Wave実験から得られたQUBOインスタンスを、標準的な線形化技術を用いて混合整数線形計画問題（MILP）に再定式化した。
• スピン変数の変換 $ s_i = 2x_i - 1 $ を適用して、イジングモデル（IM）インスタンスをQUBO形式に変換し、目的関数と整数制約を保持した。
• CPLEXのMILPソルバに、積極的なカットプレーン生成（`set mip cuts gomory 2` および `set mip cuts zerohalf 2` を使用）を適用して、解法時間を短縮した。
• 32〜439ノードのインスタンスについて、1コアおよびマルチコア環境での解法時間を測定し、異なるグラフサイズ間での比較を実施した。
• 局所的勾配降下とランダムな摂動を交互に繰り返すことで、局所最適解から脱出するランダム化局所探索ヒューリスティックを適用した。
• ヒューリスティックの性能を既知の最適解と比較し、シミュレーテッドアニーリングや専用ソルバの報告結果とも比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的MILPソルバは、McGeochとWangのD-Wave実験から得られたQUBOインスタンスを、報告されたMIQPソルバの実行時間よりも速く解けるか？
• RQ2 イジングモデルインスタンスに非ゼロの外部場（$ h_i $）が存在する場合、それに対応するQUBO問題を古典的ソルバが解く難易度にどのような影響を与えるか？
• RQ3 CPLEXにおけるカットプレーン戦略が、Chimeraグラフ上の構造的QUBOインスタンスの解法時間にどの程度短縮効果をもたらすか？
• RQ4 単純な局所探索ヒューリスティックは、D-Wave Twoシステムよりも速やかに最適解または近似最適解を得られるか？
• RQ5 これらの特定インスタンスに対して、より高速な古典的正確アルゴリズムが存在するにもかかわらず、なぜD-Wave Twoシステムが古典的ソルバーよりも優れているのか？

主な発見

• CPLEXのMILPソルバは、1コアで600件のMcGeoch-Wang QUBOインスタンスを最大93.8秒で最適解に到達させ、CPLEXのMIQPソルバが報告した1800秒の最大時間よりも著しく速かった。
• 4コアを使用した場合、最大解法時間は62.2秒に低下し、平均時間は19.8秒にまで短縮された。これは、MILPアプローチの強いスケーラビリティを示している。
• 元のインスタンスからランダム場項（$ h_i $）を除去した場合、得られるQUBOインスタンスは極めて難解となり、8コアで最悪ケースの解法時間が20,000秒を超えた。
• 最適解をウォームスタートとして提供しても、439ノードインスタンスでは平均22.8秒を要した。これは、計算時間の大部分が最適性の証明に費やされていることを示している。
• 単純なランダム化局所探索ヒューリスティックは、8コアで439ノードインスタンスのうち少なくとも99件を0.25秒以内に最適解に到達させた。これは、D-Waveシステムが基本的な局所探索をはるかに超える問題を解いている可能性を示唆している。
• BoixoらやSelbyのヒューリスティックは、それぞれ30msおよび10msで同様のインスタンスを解ける。これは、古典的ヒューリスティックがD-Waveの性能を模倣または上回れる可能性を示している。