[論文レビュー] A Note on the Sparing Number of Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、グラフのスパニング数とその最大二部部分グラフの直接的な関係を確立し、スパニング数 φ(G) が二部グラフを形成するために削除される辺の最小数に等しいことを証明している。k-彩色可能グラフ、奇サイクル、およびグローツシュ、デューラー、ドデカドンなどの複雑な非二部グラフのスパニング数の明示的公式を導出しており、主な結果として、グローツシュでは φ(G) = 5、デューラーでは φ(G) = 4、ドデカドンでは φ(G) = 6 が得られている。

ABSTRACT

An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective. An IASI $f$ is said to be a weak IASI if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|)$ for all $u,v\in V(G)$. A graph which admits a weak IASI may be called a weak IASI graph. The set-indexing number of an element of a graph $G$, a vertex or an edge, is the cardinality of its set-labels. The sparing number of a graph $G$ is the minimum number of edges with singleton set-labels, required for a graph $G$ to admit a weak IASI. In this paper, we study the sparing number of certain graphs and the relation of sparing number with some other parameters like matching number, chromatic number, covering number, independence number etc.

研究の動機と目的

• 非二部グラフ、特に複雑な多面体グラフを含むさまざまな非二部グラフのスパニング数 φ(G) を特定すること。
• スパニング数と最大二部部分グラフの構造との間の理論的関係を確立すること。
• スパニング数 φ(G) と彩色数、マッチング数、独立数などの古典的グラフパラメータとの関係を調査すること。
• 辺の削除とサイクル解析を用いた、特定のグラフ族における φ(G) の計算の構成的メソッドを提供すること。
• グラフパラメータを用いた構造的制約の特徴付けにより、弱整数加法的集合インデクシング（弱 IASI）の理解を拡張すること。

提案手法

• 定理 2.3 に基づき、スパニング数 φ(G) が、G − E′ が二部グラフであるような最小辺集合 E′ のサイズに等しいと提唱する。
• 定理 2.1 および定理 2.2 を適用し、非二部の弱 IASI グラフは少なくとも1本のモノインデックス付き辺を有する必要があり、かつ E′ に属する辺はすべてモノインデックス付きであることを示す。
• 和集合作用 g_f(uv) = f(u) + f(v) を用いて弱 IASI における誘導辺ラベリングを定義し、単射性と集合インデクシング数の制約を保証する。
• グラフ彩色と色クラス解析を用いて k-彩色可能グラフの φ(G) を導出し、それが2つの最大色クラスを除くすべての色クラスに属する頂点数の総和に等しいことを示す。
• 反復的な辺の削除を用いて奇サイクルを除去し、最大二部部分グラフ H = G − E′ を構成し、E′ をモノインデックス付き辺の集合とする。
• グローツシュ、デューラー、ドデカドンなどの特定のグラフに対して、共通する奇サイクルを特定し、各共通サイクルペアに対して1辺ずつ削除することで、すべての奇サイクルを除去することで結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-彩色可能グラフのスパニング数 φ(G) は何か？ また、その色クラスのサイズとはどのように関係するか？
• RQ2 非二部グラフのスパニング数 φ(G) は、その最大二部部分グラフのサイズとどのように関係するか？
• RQ3 グローツシュ、デューラー、ドデカドンなどの有名な非二部グラフのスパニング数は何か？
• RQ4 奇サイクルの数とそれらの辺の重なりのみからスパニング数を特定できるか？
• RQ5 特定のグラフ族において、φ(G) と彩色数やマッチング数などの古典的グラフパラメータとの関係は何か？

主な発見

• グラフ G のスパニング数 φ(G) は、G から辺を削除して二部グラフにしたときの最小辺数に等しく、すなわち φ(G) = |E′| であり、G − E′ が最大二部グラフである。
• k-彩色可能グラフ G に対して、スパニング数は2つの最大色クラスを除くすべての色クラスに属する頂点数の合計に等しく、定理 2.5 で証明されている。
• 奇サイクルのスパニング数は 1 であり、二部グラフのスパニング数は 0 である。これは定理 2.6 で確立されている。
• グローツシュ・グラフのスパニング数は φ(G) = 5 であり、奇サイクルに共通する5本の辺を削除することで確認された。
• デューラー・グラフのスパニング数は φ(G) = 4 であり、複数の奇サイクルに共通する4本の辺を削除することで導出された。
• ドデカドン・グラフのスパニング数は φ(G) = 6 であり、奇5サイクルのペア間で共有される6本の辺を除去することで達成された。