[論文レビュー] On Integer Additive Set-Indexers of Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 16被引用数 36

ひとこと要約

本稿はグラフ理論における整数加法的集合インデクサー（IASI）を導入し、調査する。IASIグラフを定義し、その構造的性質を分析する。すべてのグラフがIASIを有することを証明し、弱いおよび強いIASIの条件を確立し、線グラフや全グラフなどの関連グラフにおけるIASIの許容性を検討する。強いIASIがこれらの操作によって保存されないことを示す。主な貢献は、有限の基数集合を持つIASIグラフの特徴付けであり、頂点数と一様性に基づいた最小基数集合サイズの上限を含む。

ABSTRACT

A set-indexer of a graph $G$ is an injective set-valued function $f:V(G) ightarrow2^{X}$ such that the function $f^{\oplus}:E(G) ightarrow2^{X}-\{\emptyset\}$ defined by $f^{\oplus}(uv) = f(u){\oplus} f(v)$ for every $uv{\in} E(G)$ is also injective, where $2^{X}$ is the set of all subsets of $X$ and $\oplus$ is the symmetric difference of sets. An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective. A graph $G$ which admits an IASI is called an IASI graph. An IASI $f$ is said to be a {\em weak IASI} if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|)$ and an IASI $f$ is said to be a {\em strong IASI} if $|g_f(uv)|=|f(u)| |f(v)|$ for all $u,v\in V(G)$. In this paper, we study about certain characteristics of inter additive set-indexers.

研究の動機と目的

• 整数加法的集合インデクサー（IASI）を、集合インデクサーの一般化として形式化し、グラフ理論における研究を進める。
• 辺集合インデクサー番号の性質に基づき、グラフが弱いか強いIASIを有するための条件を調査する。
• 部分グラフ、線グラフ、全グラフなどの関連グラフにおけるIASIの許容性を特定する。
• 特に一様に集合インデクサー化された頂点を有する場合に、IASIに必要な有限基数集合の最小サイズの境界を確立する。
• IASIグラフにおける集合グレースフルネスおよび集合逐次性に関する未解決問題を特定する。

提案手法

• IASIを、f: V(G) → 2^ℕ₀ である単射関数として定義し、その誘導される辺関数 g_f(uv) = f(u) + f(v) も単射であることを要請する。
• 和集合演算 A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} を用いて、頂点ラベルから辺ラベルを定義する。
• 基数集合サイズの下界を導出するために、床関数を適用する：n 頂点グラフに対して |X| ≥ ⌈log₂(n+1)⌉ が成り立つ。
• l-一様に集合インデクサー化された頂点に対しては、C(|X|, l) ≥ n が成立しなければならないことを確立する。
• 部分グラフ、辺の縮約、および基本的な位相的還元が IASI 性を保存することを証明する。
• 線グラフおよび全グラフにおける隣接条件を分析し、強いIASIが継承可能かどうかを判断する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限単純グラフは整数加法的集合インデクサー（IASI）を有するか？
• RQ2 グラフが弱いか強いIASIを有するための条件は何か？また、辺集合インデクサー番号の性質にどのような影響を与えるか？
• RQ3 弱いか強いIASIを持つグラフの線グラフまたは全グラフが、弱いか強いIASIを継承できるか？
• RQ4 グラフ G が基数集合 X に対して IASI を有するための、有限基数集合 X の最小基数は何か？
• RQ5 IASI が集合グレースフルまたは集合逐次的であることは可能か？その必要十分条件は何か？

主な発見

• すべての有限単純グラフは、ℕ₀ の空でない部分集合をそれぞれ異なるものに割り当てる単射ラベル付けを構成することにより、IASI を有する。
• n 頂点グラフに対する有限基数集合 X の最小サイズは、少なくとも ⌈log₂(n+1)⌉ である。これは、十分な数の異なる空でない部分集合を保証する。
• l-一様に集合インデクサー化された頂点集合に対しては、基数集合は C(|X|, l) ≥ n を満たさなければならない。これは、サイズ l の部分集合が少なくとも n 個存在しなければならないことを意味する。
• IASI グラフの部分グラフは、元のラベル関数の制限により、IASI 性を継承する。
• 強いIASIを持つグラフの線グラフおよび全グラフは、強いIASIを有さない。これは、隣接条件と差集合条件が矛盾するためである。
• 本稿では、IASIの集合グレースフルネスおよび集合逐次性に関する未解決問題を特定し、今後の研究の方向性を示唆している。