[論文レビュー] A Polynomial-Time Affine-Scaling Method for Semidefinite and Hyperbolic Programming

James Renegar, Mutiara Sondjaja|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称錐を超える半定値および双曲的プログラミングのための多項式時間のアフィンスケーリング法を提案する。これは、ディキンの元来のアルゴリズムを双曲的錐へと拡張したものである。新規のバリア関数と二次多項式による中心路の有理近似を用いることで、対称性に依存せず、既存の最良の複雑度境界を達成する。これは、非対称錐（例えば双曲的性錐）に対して、初めての多項式時間のアフィンスケーリング法をもたらす。

ABSTRACT

We develop a natural variant of Dikin's affine-scaling method, first for semidefinite programming and then for hyperbolic programming in general. We match the best complexity bounds known for interior-point methods. All previous polynomial-time affine-scaling algorithms have been for conic optimization problems in which the underlying cone is symmetric. Hyperbolicity cones, however, need not be symmetric. Our algorithm is the first polynomial-time affine-scaling method not relying on symmetry.

研究の動機と目的

• 対称錐を超えてディキンのアフィンスケーリング法を双曲的プログラミングに拡張すること。
• 半定値および双曲的プログラミングのための多項式時間アルゴリズムを構築し、既存の最良の内点法の複雑度境界を達成すること。
• すべての先行する多項式時間のアフィンスケーリング法に不可欠であった対称錐の性質に依存しないようにすること。
• 計算的に効率的かつ概念的に単純なアルゴリズムを提供し、非対称な凸錐最適化へとアフィンスケーリングのアイデアを一般化すること。
• 新規のバリア関数と中心路の有理近似を用いて、理論的収束保証を確立すること。

提案手法

• 線形計画法のバリア関数に代えて、双曲多項式のための対数バリア関数 $ f(x) = -\ln p(x) $ を用いることで、ディキンのアフィンスケーリングフレームワークを適応する。
• 各反復点を中心とするディキンに類似した楕円体に制約を課すために、$ \|\cdot\|_e $-ノルムを用いた新しい楕円体近傍を定義する。ここで $ \|v\|_e^2 = \sum_j \frac{v_j^2}{e_j^2} $ である。
• ヘルトン＝ヴィニコフの定理から導かれる二次多項式 $ \tilde{q}(t) $ を用いたステップ計算により、双対妥当性を保証し、進行を制御する。
• 中心路の有理近似として二次多項式を用いることで、次の反復点が実行可能領域の内部に留まるように保証する。
• 妥当性を維持し、バリア関数の十分な減少を保証するように、修正されたバリアに基づく探索方向を適用する。
• 多項式 $ \tilde{q}(t) $ を根拠とするラインサーチ戦略を用い、最適性への進行を保証するとともに妥当性を維持するステップサイズを決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディキンのアフィンスケーリング法は、非対称錐（例えば双曲的性錐）へと一般化可能であり、多項式時間の複雑度を損なわずに実現可能か？
• RQ2 プライマル・デュアルパスフォローよりも完全にアフィンスケーリングのアプローチを用いて、半定値および双曲的プログラミングの最良の既知の複雑度境界を達成可能か？
• RQ3 二次多項式による有理近似を用いて、双対妥当性と収束性を保証する中心路を構築可能か？
• RQ4 双曲的性錐における対称性の欠如が、アフィンスケーリング法の使用を不可能にするか、それとも代替のバリア関数とステップ則によって多項式時間の性能が回復可能か？
• RQ5 不等式 $ \tilde{q}(t) < \frac{1}{n - \beta^2} $ が、計算的に効率的かつグローバルに収束するステップサイズ選択ルールを定義するために使用可能か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、半定値および双曲的プログラミングの分野で、既存の最良の多項式時間の複雑度境界を達成しており、標準的な内点法と同等の性能を示す。
• 本手法は、元来の錐が対称でない場合に適用可能な、双曲的プログラミングに対する最初の多項式時間のアフィンスケーリング法である。
• バリア関数 $ f(x) = -\ln p(x) $ と二次近似 $ \tilde{q}(t) $ の使用により、次の反復点が厳密に実行可能であり、最適性への十分な進行が保証される。
• 双対妥当性は $ \tilde{q}(t) < \frac{1}{n - \beta^2} $ を満たすことで維持され、収束に十分であり、効率的に検証可能である。
• 中心路の近似を可能にする有理関数の導出に、ヘルトン＝ヴィニコフの定理を新規に応用することで、実行可能なステップ計算が可能になった。
• 対称錐や自己スケーリングバリアの必要性を回避し、代替のバリア関数とステップサイズ機構によって、多項式時間収束が代替可能であることを示した。