[論文レビュー] A Productivity Checker for Logic Programming

Ekaterina Komendantskaya, Patricia Johann+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、論理プログラムの観察的生産性をチェックする手法を提案する。この手法は、帰納的推論を用いて、プログラムが無限項を生成するかどうかを半決定的に判定する。普遍的観察可能性と存在的活性性のチェックを、書き換え木と帰納的不変条件を用いて統合することで、非線形的かつ存在記号を含むプログラムに対しても、生産的動作の証明が可能になる。これにより、Prolog や関連システムにおける整合的な帰納的推論が可能になる。

ABSTRACT

Automated analysis of recursive derivations in logic programming is known to be a hard problem. Both termination and non-termination are undecidable problems in Turing-complete languages. However, some declarative languages offer a practical work-around for this problem, by making a clear distinction between whether a program is meant to be understood inductively or coinductively. For programs meant to be understood inductively, termination must be guaranteed, whereas for programs meant to be understood coinductively, productive non-termination (or "productivity") must be ensured. In practice, such classification helps to better understand and implement some non-terminating computations. Logic programming was one of the first declarative languages to make this distinction: in the 1980's, Lloyd and van Emden's "computations at infinity" captured the big-step operational semantics of derivations that produce infinite terms as answers. In modern terms, computations at infinity describe "global productivity" of computations in logic programming. Most programming languages featuring coinduction also provide an observational, or small-step, notion of productivity as a computational counterpart to global productivity. This kind of productivity is ensured by checking that finite initial fragments of infinite computations can always be observed to produce finite portions of their infinite answer terms. In this paper we introduce a notion of observational productivity for logic programming as an algorithmic approximation of global productivity, give an effective procedure for semi-deciding observational productivity, and offer an implemented automated observational productivity checker for logic programs.

研究の動機と目的

• 非終了的論理プログラム導出、特に無限項を生成するものについての推論の課題に取り組む。
• 論理プログラミングにおけるグローバル生産性の実用的代替手段として、観察的生産性の概念を形式化する。
• 文法的制限なしに、存在変数や非線形再帰を含むプログラムに対しても、観察的生産性を半決定的に判定するアルゴリズムを開発する。
• CoLP や S解像法のような共帰的 Prolog デイアレクトにおける共帰的意味論の検証と整合性の確保を可能にする実用的ツールを提供する。
• プログラム検証、型システム、無限データ構造の遅延評価における、生産的動作の自動証明を可能にする。

提案手法

• 観察的生産性を、すべての導出ステップが観察可能な項を生成する普遍的観察可能性と、無限項が段階的に近似可能である存在的活性性の組み合わせとして定式化する。
• 書き換え木を用いて項の還元と導出ステップ間の遷移をモデル化し、SLD解像法下での項の変化を追跡する。
• 主なイノベーションとして、ループ内で還元されるパターンと、遷移で再導入されるパターンを記録する帰納的不変条件を用いる。これにより、無限導出における「生産者／消費者」ダイナミクスを捉える。
• 書き換え木が葉に向かって項の還元を示し、最も一般な統一子（mgus）による構造的再生が行われるかを分析することで、半決定手続きを実行する。
• 既存の項書き換え系（TRS）の終了性チェックと統合し、収縮順序の検証を可能にすることで、モジュラーな解析を実現する。
• Go で実装され、並列証明探索をサポートしており、複雑な論理プログラムのスケーラブルな解析が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の論理プログラムに対して、特定のデイアレクトに依存しない観察的生産性が決定可能または半決定可能であると定義できるか？
• RQ2 グローバル生産性（すなわち、無限に近づく段階で無限項を計算できる能力）は、小さなステップで観察可能な挙動によって、どのようにアルゴリズム的に近似可能か？
• RQ3 論理プログラムの無限導出が、答えが正則項でない場合でも、有限ステップによる遅延近似が可能であるための形式的条件は何か？
• RQ4 存在変数や非線形再帰を含むプログラムにおいて、帰納的不変条件を自動で発見・検証し、生産的動作を証明するにはどうすればよいか？
• RQ5 この生産性チェックツールは、CoLP や S解像法のような共帰的 Prolog システムにおける整合性を保証するための事前チェックとして利用可能か？

主な発見

• 観察的生産性チェッカーは、P5 や P2 のように、無限項 p(f(f(...))) を無限に近づく形で生成するプログラムを正しく特定する一方で、P3 や P4 のような非生産的ループは正しく拒否する。
• 文法的制限なしに、存在変数や非線形再帰を含む任意の論理プログラムについて、観察的生産性が半決定可能であることを示した。
• 帰納的不変条件は、無限導出の構造的ダイナミクスを効果的に捉え、書き換え木全体にわたる項の還元と再生の両方を検出可能にした。
• このチェッカーを用いることで、述語を共帰的と型付けでき、論理プログラミングにおける帰納的／共帰的意味論の静的分類が可能になる。
• Go で実装された実装は並列証明探索をサポートし、CoLP などのツールに統合可能で、共帰的推論のための事前検証が可能である。
• 閉じた項の答えが得られない場合でも、不規則な無限項（例：P6のプログラム）の遅延近似の一般証明を提供する。