[論文レビュー] A quantitative relative index theorem and Gromov's conjectures on positive scalar curvature

Zhizhang Xie|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 43被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、正スカラー曲率に関するグロモフの予想を扱うための概念的枠組みを提供する定量的相対インデックス定理を確立する。球面および半球から特定の部分集合を除いたリーマン計量に対して、漸近的に最適な λ-リプシッツ剛性定理を証明し、グロモフの □^{n-m} 不等式およびリーマン立方体やバンドの幅に関する関連する幾何的制約に対して、最適でないが有効な境界を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we prove a quantitative relative index theorem. It provides a conceptual framework for studying some conjectures and open questions of Gromov on positive scalar curvature. More precisely, we prove a $λ$-Lipschitz rigidity theorem for (possibly incomplete) Riemannian metrics on spheres with certain types of subsets removed. This $λ$-Lipschitz rigidity theorem is asymptotically optimal. As a consequence, we obtain an asymptotically optimal $λ$-Lipschitz rigidity theorem for positive scalar curvature metrics on hemispheres. These give positive answers to the corresponding open questions raised by Gromov. As another application, we prove Gromov's $\square^{n-m}$ inequality on the bound of distances between opposite faces of spin manifolds with cube-like boundaries with a suboptimal constant. As immediate consequences, this implies Gromov's cube inequality on the bound of widths of Riemannian cubes and Gromov's conjecture on the bound of widths of Riemannian bands with suboptimal constants. Further geometric applications will be discussed in a forthcoming paper.

研究の動機と目的

• 正スカラー曲率に関するグロモフの予想を研究するための、定量的相対インデックス定理に基づく概念的枠組みの構築。
• 特定の部分集合を除いた球面および半球上のリーマン計量に対して、漸近的に最適な λ-リプシッツ剛性定理の証明。
• 立方体に類似した境界をもつスピン多様体の反対側の面間の距離に関するグロモフの □^{n-m} 不等式に対して、最適でないが有効な境界の確立。
• これらの結果を拡張し、リーマン立方体およびバンドの幅に関する境界を導出することで、グロモフの予想を最適でない定数で確認する。
• 定量的インデックス定理における普遍定数 C の数値的推定値を提供し、最適化された正規化関数を用いて従来の境界を改善する。

提案手法

• 境界をもつリーマン多様体のガロア被覆に対して、最大群 C*-代数と高次インデックスを用いて、定量的相対インデックス定理を定式化する。
• 定理を部分集合を除いたリーマン多様体に適用し、補集合の r-近傍で等長的かつクラッパー compatible なデータを仮定する。
• ディラック作用素の平方における曲率項 D_j^2 = ∇*∇ + R_j を用いて、除去された部分集合における曲率条件を課す。
• Fourier変換が [-2,2] に台を持つ正規化関数 χ を用いて、スペクトル性質を制御し、普遍定数 C に関する境界を導出する。
• 偶関数で compact に台を持つ関数 f の数値最適化を用い、σ が最小となるようにする。ここで χ_f(x) ≈ 1 (x ≥ σ) および χ_f(x) ≈ -1 (x ≤ -σ) となるようにする。
• 問題を f の三角多項式近似に対する一次不等式系の解法に還元し、σ および改善された C-推定値の数値計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正スカラー曲率に関するグロモフの予想に対応するため、定量的相対インデックス定理を定式化できるか？
• RQ2 特定の部分集合を除いた球面上の計量に対する λ-リプシッツ剛性定理は、漸近的に最適か？
• RQ3 提案された枠組みを用いて、最適でない定数を用いてグロモフの □^{n-m} 不等式を証明できるか？
• RQ4 定量的インデックス定理における普遍定数 C の最良の数値的推定値は何か？
• RQ5 この枠組みは、リーマン立方体およびバンドの幅に関する境界を導出するために拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、特定の部分集合を除いた（完全でない可能性のある）球面上のリーマン計量に対して、漸近的に最適な λ-リプシッツ剛性定理を証明する。
• 正スカラー曲率計量が定義された半球に対しても、漸近的に最適な λ-リプシッツ剛性定理が確立される。
• 定量的相対インデックス定理により、σ·r > C ならば KO_n(C_max*(Γ;ℝ)) 内で Ind_Γ( D̃₁ ) - Ind_Γ( D̃₂ ) = 0 が成り立つ。標準的な正規化関数を用いると C ≤ 86.0463 が得られる。
• 最適化された正規化関数を用いることで、境界を C ≤ 40.65 まで改善し、近似スキームにおいて n=50 のとき σ ≈ 1.355 を達成可能である。
• この枠組みにより、グロモフの □^{n-m} 不等式に対して最適でないが有効な定数が得られ、C ≤ 40.65 で不等式が確認される。
• 直ちに得られる帰結として、本稿は最適でない定数を用いてグロモフの立方体不等式およびバンド幅に関する予想を証明し、主要定理と整合的である。