[論文レビュー] A regularity criterion for the solution of the nematic liquid crystal flows in terms of $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-norm

Qiao Liu, Jihong Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$̂{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-ノルムが十分に小さい場合、解が滑ららかに保たれることを示すことにより、次元2および次元3におけるネマチック液体結晶流れ系の正則性基準を確立する。この結果は、臨界Besov空間ノルムを用いた流体の水動的モデルにおける爆発回避の理解を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate regularity criterion for the solution of the nematic liquid crystal flows in dimension three and two. We prove the solution $(u,d)$ is smooth up to time $T$ provided that there exists a positive constant $\varepsilon_{0}>0$ such that (i) for n=3, |(u, abla d)|_{L^{\infty}(0,T;\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})}\leq \varepsilon_{0}, and (ii) for $n=2$, | abla d|_{L^{\infty}(0,T;\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})}\leq \varepsilon_{0}.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元空間においてネマチック液体結晶流れ系の正則性基準を確立すること。
• 与えられた時刻 $T$ までに解 $(u, d)$ が滑らかに保たれる条件を特定すること。
• $\nabla d$ の $̂{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-ノルムが有限時間内発散を防ぐ役割を分析すること。
• 臨界Besov空間ノルムを用いることで、既存の正則性結果を拡張すること。このノルムはLorentz空間および端点空間のスケールにおいて最適である。

提案手法

• 著者たちは、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式と方向場の調和写像熱方程式を結合した、簡略化されたErickson–Leslieモデルを用いる。
• 特に $̂{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-ノルムに注目し、Besov空間枠組みにおいてエネルギー推定と放物型正則性技術を適用する。
• 解の高階エネルギー推定に $\Lambda^k$-作用素を $u$ および $d$ に適用し、$\mathbb{R}^n$ 上での補間とSobolev埋め込みを経て、事前推定の境界を導出する。
• 非線形項の制御には、Hölderの不等式、Youngの不等式、および $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$ 空間における交換子推定を用いる。
• 2次元と3次元の状況を区別し、正則性に要する異なる小さな条件を提示する。
• エネルギー等式と $L^\infty(0,T; \dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})$ における一様有界性を用いて、高階ノルムの成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元において、$(u, \nabla d)$ の $̂{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-ノルムがどのような条件下で、解 $(u,d)$ が滑らかに保たれるか。
• RQ2 2次元において、$\nabla d$ の $̂{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-ノルムの小ささのみが正則性を保証できるか。
• RQ3 臨界Besov空間 $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$ の選択が、液体結晶流れの既存の正則性基準をどのように改善するか。
• RQ4 ナビエ＝ストークス方程式と調和写像熱方程式の結合が、解の正則性に果たす役割は何か。
• RQ5 $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$ における小さな条件が、正則性理論においてより強い $L^p$-型の小さな仮定を置き換える程度はどの程度か。

主な発見

• 3次元では、ある十分に小さい $\varepsilon_0 > 0$ に対して $\|(u, \nabla d)\|_{L^\infty(0,T; \dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})} \leq \varepsilon_0$ が成り立つならば、解 $(u,d)$ は時刻 $T$ まで滑らかに保たれる。
• 2次元では、$\|\nabla d\|_{L^\infty(0,T; \dot{B}^{-1}_{\infty,\infty})} \leq \varepsilon_0$ が成り立つならば、解は時刻 $T$ まで滑らかに保たれる。
• 著者たちは、解が $L^\infty(0,T; H^2) \times L^\infty(0,T; H^3)$ および $L^2(0,T; H^3) \times L^2(0,T; H^4)$ で有界であることを証明しており、高い正則性を示している。
• 証明では、$\|\Lambda^2 u\|_{L^2}$ および $\|\Lambda^3 d\|_{L^2}$ に対して一様な境界が確立され、全エネルギーおよび高階ノルムが初期データと定数 $C_0$ によって制御されることを示している。
• この結果は、$\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-ノルムがナビエ＝ストークス方程式および調和写像流れ系の臨界空間であるという点で鋭い。
• 解析により、$L^p$-基準が失敗する場合でさえ、$\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-ノルムの小ささが爆発を防ぐのに十分であることが確認された。