[論文レビュー] A Representation Theorem for Completely Contractive Dual Banach Algebras

Faruk Uygul|ArXiv.org|Feb 7, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、完全に収縮的双対バナッハ代数が、反射的作用素空間上の完全有界作用素の空間の $w^*$-閉部分代数として完全等長埋め込み可能であることを示す表現定理を確立する。証明は、作用素空間の複素補間理論を用いて、ダウズの双対バナッハ代数の表現定理を作用素空間の設定に適応し、このような代数を反射的 $E$ に対する $Δ\mathcal{CB}(E)$ の作用素空間部分代数としての標準的実現を与える。主な貢献は、作用素空間のカテゴリーにおける完全等長表現の確立であり、これは既知のフォン・ノイマン代数や測度代数の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we prove that every completely contractive dual Banach algebra is completely isometric to a $w^\ast$-closed subalgebra the operator space of completely bounded linear operators on some reflexive operator space.

研究の動機と目的

• 双対バナッハ代数のダウズの表現定理を作用素空間の設定に拡張すること。
• 完全に収縮的双対バナッハ代数が、ある反射的作用素空間 $E$ に対して $\mathcal{CB}(E)$ の $w^*$-閉部分代数として完全等長に表現されることを確立すること。
• ダウズの技法を作用素空間フレームワークに適応することにより、作用素空間の複素補間の新しい応用を必要とすること。
• 既知の表現（例えば $M(G)$ や $B(G)$ に対するもの）と新しい一般枠組みとの関係を明確にすることにより、それらが本結果によって含意されないし、含意されもしないことを示すこと。

提案手法

• 各 $\phi$ がインデックス集合 $\mathfrak{I}$ に属するごとに、$w^*$-連続な完全収縮写像 $T_\phi: \mathfrak{A} \to \mathcal{CB}(E_\phi)$ を構成する。ここで各 $E_\phi$ は反射的作用素空間である。
• $\dot{E} = l^2(\mathfrak{I}, E_\phi)$ を定義し、各 $M_n(E_\phi)$-ノルムの $\ell^2$-和によって誘導される作用素空間構造を備える。
• 写像 $S: \mathfrak{A} \to B(\dot{E})$ を $\langle S(a), (x_\phi) \rangle = (\langle T_\phi(a), x_\phi \rangle)$ により定義し、ダウズの結果を用いてそれが等長写像であることを示す。
• 新しい作用素空間 $E = l^2(\mathfrak{I}, E_\phi)$ を定義し、写像 $T: \mathfrak{A} \to \mathcal{CB}(E)$ を $\langle T(a), (x_\phi) \rangle = (\langle T_\phi(a), x_\phi \rangle)$ により定義し、$T$ が完全収縮であることを示す。
• 複素補間理論（ピジエとシュウ）を用いて、$E$ を補間空間 $E = (l^\infty(\mathfrak{I}, M_n(E_\phi)), l^1(\mathfrak{I}, M_n(E_\phi)))_{1/2}$ として実現し、反射性を保証する。
• 双対性と $\phi \in M_n(\mathfrak{A}_*)$ による近似を用いて、$\|T^{(n)}(a)\|_{\mathrm{cb}} = \|a\|_n$ を示し、$T$ が完全等長写像であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての完全に収縮的双対バナッハ代数は、ある反射的作用素空間 $E$ に対して $\mathcal{CB}(E)$ に完全等長に埋め込めるか？
• RQ2 完全に収縮的双対バナッハ代数の作用素空間構造は、ダウズの双対バナッハ代数の定理に類似した表現を、作用素空間のカテゴリー内で許容するか？
• RQ3 作用素空間の複素補間理論をどのように用いて、$\mathfrak{A}$ が $\mathcal{CB}(E)$ に完全等長に埋め込まれるような反射的作用素空間 $E$ を構成できるか？
• RQ4 反射的 $E$ に対して $\mathfrak{A}$ が $\mathcal{CB}(E)$ の $w^*$-閉部分代数として表現されることの、既存の表現（例えば $M(G)$ や $B(G)$ に対するもの）より厳密に強い性質は何か？
• RQ5 ダウズの定理の証明に用いられた技法は、一般の $G$ に対して $L^2(G)$ が反射的でないため、$L^2(G)$ の反射性に依存せずに作用素空間の設定に適応可能か？

主な発見

• すべての完全に収縮的双対バナッハ代数 $\mathfrak{A}$ は、ある反射的作用素空間 $E$ に対して $\mathcal{CB}(E)$ に完全等長に埋め込まれ、その像は $w^*$-閉である。
• この表現は、各 $T_\phi: \mathfrak{A} \to \mathcal{CB}(E_\phi)$ が $w^*$-連続な完全収縮であるような、反射的作用素空間 $E_\phi$ の直和 $\dot{E} = l^2(\mathfrak{I}, E_\phi)$ を用いて構成される。
• 得られる写像 $T: \mathfrak{A} \to \mathcal{CB}(E)$ は完全等長写像であり、すべての $n \geq 1$ と $a \in M_n(\mathfrak{A})$ に対して $\|T^{(n)}(a)\|_{\mathrm{cb}} = \|a\|_n$ が成り立つ。これは完全等長同型を確立する。
• この構成は、作用素空間の複素補間理論（ピジエとシュウ）に依拠しており、$E$ を補間空間 $E = (l^\infty(\mathfrak{I}, M_n(E_\phi)), l^1(\mathfrak{I}, M_n(E_\phi)))_{1/2}$ として実現し、反射性を保証する。
• 本結果は、$M(G)$ や $B(G)$ に対する既存の結果とは含意されず、含意されもしない。なぜなら、$\mathcal{B}(L^2(G))$ は反射的でない（たとえ双対作用素空間ではあるが）からである。
• 証明は、$\phi \in M_n(\mathfrak{A}_*)$ を用いた双対性と作用素空間ノルムの精密な制御を要し、ダウズの技法を作用素空間の設定に非自明に適応している。