[論文レビュー] A short survey of recent results on Buschman-Erdelyi transmutations

С. М. Ситник|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 18被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、Buschman–Erdélyi変換の最近の進展について包括的なサーベイを提示し、Riemann–Liouvilleの分数積分やSonine–Poisson–Delsarte変換といった古典的変換を一般化する積分作用素としてのそれらの役割を確立している。著者はこれらの作用素を3種類に分類し、特定のシフトされたハーディー型作用素のユニタリティを証明し、特異な偏微分方程式の解法、Kipriyanov空間における埋め込み定理、ラドン変換、および変換的技法を用いた擬微分作用素への応用を示している。

ABSTRACT

This paper was published in the special issue of the Journal of Inequalities and Special Functions dedicated to Professor Ivan Dimovski's contributions to different fields of mathematics: transmutation theory, special functions, integral transforms, function theory etc. This short survey paper contains brief historical information, main known facts and original author's results on the theory of the Buschman-Erdélyi transmutations and some of their applications. The operators of Buschman-Erdélyi type were first studied by E.T.~Copson, R.G.~Buschman and A.~Erdélyi as integral operators. In 1990's the author was first to prove the transmutational nature of these operators and published papers with detailed study of their properties. This class include as special cases such famous objects as the Sonine-Poisson-Delsarte transmutations and the fractional Riemann-Lioville integrals. In this paper, the Buschman-Erdelyi transmutations are logically classified as operators of the first kind with special case of zero order smoothness operators, second kind and third kind with special case of unitary Sonine-Katrakhov and Poisson-Katrakhov transmutations. We study such properties as transmutational conditions, factorizations, norm estimates, connections with classical integral transforms. Applications are considered to singular partial differential equations, embedding theorems with sharp constants in Kipriyanov spaces, Euler-Poisson-Darboux equation including Copson lemma, generalized translations, Dunkl operators, Radon transform, generalized harmonics theory, Hardy operators, V.\,Katrakhov's results on pseudodifferential operators and boundary-value problems of new kind for equations with solutions of arbitrary growth at the isolated singularity for elliptic partial differential equations.

研究の動機と目的

• Buschman–Erdélyi変換に関する最近の理論的結果を体系化・拡張すること、特にその3種類への分類と特殊ケースの特定。
• これらの作用素の変換的性質と、古典的積分変換や分数階微積分への関連を確立すること。
• これらの作用素を用いて、孤立した特異点における任意の成長を示す境界値問題を有する特異な偏微分方程式を解くこと。
• Buschman–Erdélyi作用素が一般化された翻訳の理論、Dunkl作用素、およびラドン変換の理論において果たす役割を示すこと。
• $L_2(0,\infty)$における新しいクラスの積分作用素のユニタリティを証明し、それらをハーディー型作用素および変換理論に結びつけること。

提案手法

• Buschman–Erdélyi変換を3種類に分類する：第1種（零次の滑らかさを含む）、第2種、第3種（ユニタリなSonine–KatrakhovおよびPoisson–Katrakhov型を含む）。
• 変換的条件と因数分解技術を用いて、メリン、ハンケル、ラプラスなどの古典的変換とのノルム推定と関係を導出する。
• 作用素の畳み込み理論およびBerg–Dimovski畳み込みを用いて、変換作用素の構造を分析する。
• 定理7を用いて、特定の積分作用素のユニタリティを確立する。$ \int_0^x f(y)\,dy/y $、$ \int_x^\infty f(y)\,dy/y $、および高階のカーネルを含む形を含む。
• Ludwigの定理を活用し、$ \mathbb{R}^n $ 上のラドン変換が球面調和関数成分上で第1種のBuschman–Erdélyi作用素として作用することを示す。
• 変換的技法を用いて $K$-トレース境界条件を定義し、強い特異性を有する楕円型方程式の境界値問題の正しさを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Buschman–Erdélyi変換をどのように体系的に分類できるか。第1種、第2種、第3種の間にはどのような構造的差異があるか。
• RQ2 $ L_2(0,\infty) $ における形 $ Uf = f + \int_0^x f(y)\,K(x,y)\,dy $ の積分作用素が、変換的性質および有界性（特にユニタリティ）を満たすための条件は何か。
• RQ3 Buschman–Erdélyi作用素は、ラドン変換、分数階積分、一般化された翻訳といった既知の積分変換をどのように一般化または統一するか。
• RQ4 これらの作用素を用いて、孤立した特異点における任意の成長を示す解を有する楕円型偏微分方程式をどのように解くことができるか。特に $K$-トレース条件を用いた方法について。
• RQ5 Buschman–Erdélyi変換とKatrakhovおよびKipriyanovによって発展された擬微分作用素の理論との明確な関係は何か。

主な発見

• 第1種のBuschman–Erdélyi変換には、Sonine–Poisson–Delsarte型およびErdélyi–Kober型変換が特別な場合として含まれる。
• 著者はこれらの作用素の変換的性質を証明し、微分作用素と積分作用素を交換する役割を確立している。
• ユニタリな積分作用素 $ U_3 $ から $ U_{10} $ が明示的に構成され、$ L_2(0,\infty) $ において互いに逆作用素であることが証明されている。これらのカーネルには $ 1/y $、$ 1/y^2 $、および有理関数が含まれる。
• Ludwigの定理を再解釈することで、$ \mathbb{R}^n $ 上のラドン変換が各球面調和関数成分上で第1種のBuschman–Erdélyi作用素として作用することが示された。
• 変換的技法を用いることで、ラドン変換に対する鋭いノルム推定と逆公式が得られた。
• Katrakhovによる、任意の成長特異性を有する楕円型方程式の境界値問題に関する研究が、第1種のBuschman–Erdélyi変換を用いてノルムを定義し、問題の正しさを証明するという点で根本的に依存していることが示された。