[論文レビュー] A study of negative index materials using transformation optics with applications to super lenses, cloaking, and illusion optics: the scalar case

Hoài-Minh Nguyên|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2012

Metamaterials and Metasurfaces Applications参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、変換光学者を用いて2次元および3次元における負の磁率係数材料をモデル化する特異摂動型偏微分方程式の解の挙動を分析する。解が有界であり、弱収束して極限解に至る条件を確立し、超レンズ、クローキング、錯視光学者の応用において、極限挙動の正確な数学的特徴付けを可能にする。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of the behavior of the solution $u_\delta \in H^1_0(\Omega)$, as $\delta$ goes to 0, to the equation \dive(\eps_\delta A abla u) + k^2 \eps_0 \Sigma u = \eps_0 f in \Omega, where $\Omega$ is a smooth open subset of $\mR^d$ with $d=2$ or 3, $f \in L^2(\Omega)$, $k$ is a non-negative constant, $A$ is a uniformly elliptic matrix function, $\Sigma$ is a real function bounded above and below by positive constants, and $\eps_\delta$ is a complex function whose the real part takes the value 1 and -1, and the imaginary part is positive and converges to 0 as $\delta$ goes to 0. Under some additional general assumptions on $A$ and $\Sigma$, we characterize conditions on $f$ under which $\|u_\delta\|_{H^1(\Omega)}$ remains bounded as $\delta$ goes to 0. Under these conditions, we also show that $u_\delta$ converges weakly in $H^1(\Omega)$ to a limit which is the solution to the limit equation; moreover, we obtain a formula for computing the limit. The applications of these results for perfect lens, cloaking, and illusion optics using negative index materials will be given.

研究の動機と目的

• 虚部が消える際の複素誘電率を伴う特異摂動型偏微分方程式の解の漸近的挙動を理解すること。
• δ → 0 の際に解のH^1ノルムが有界のまま保たれるような源項fに関する条件を同定すること。
• これらの条件下で、H^1(Ω)における解の弱収束の極限を特徴付ける極限方程式を導出すること。
• 理論的結果を実用的変換光学者現象（超レンズ、クローキング、錯視光学者）に応用すること。

提案手法

• 虚部がδ → 0 で消える複素でδに依存する誘電率ε_δを伴う、ヘルムホルツ型方程式として問題を定式化する。ε_δの実部は1および-1をとり、虚部は正である。
• H^1_0(Ω)における変分枠組みを用いて、方程式 div(ε_δ A∇u) + k²ε₀Σu = ε₀f の解u_δを研究する。
• 正則な強凸行列Aおよび有界関数Σに関する一般仮定を適用し、適切な定式化とコンパクト性を保証する。
• H^1(Ω)における弱収束の議論を用いて、源項fが特定の正則性および整合性条件を満たす場合、u_δが弱収束して極限解に至ることを示す。
• 極限解の閉形式表現を、元のデータおよび領域Ωの幾何構造に基づいて導出する。
• 理論枠組みを用いて、変換光学者における負の磁率係数材料をモデル化し、特に完全レンズ、クローキング、錯視デバイスに応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 δ → 0 の際にu_δのH^1ノルムが有界のまま保たれる源項fに関する条件は何か？
• RQ2 解が有界のままの場合、H^1(Ω)におけるu_δの弱収束極限は何か？
• RQ3 極限解は元の問題データから明示的にどのように計算できるか？
• RQ4 特異摂動に関する理論的結果は、超レンズ、クローキングデバイス、錯視光学者の設計にどのように適用できるか？
• RQ5 虚部が消えるが負の実部を有する複素誘電率ε_δは、これらの変換光学者現象の実現にどのような役割を果たすか？

主な発見

• u_δのH^1ノルムがδ → 0 で有界のまま保たれるのは、源項fが極限作用素の核に関連する特定の直交性条件を満たす場合に限る。
• 解が有界のままの場合、u_δはH^1(Ω)において弱収束し、明確に定義された極限方程式の解に至る。
• 極限解の閉形式表現が導出され、それは領域Ωの幾何構造、行列A、関数Σ、および源項fに依存する。
• 理論的枠組みは、変換光学者における負の磁率係数材料の物理的挙動を正当化し、特に超レンズとクローキングに関して有効である。
• 結果は、負の磁率係数材料を用いた変換光学者による錯視光学者デバイスの設計に、厳密な数学的基盤を提供する。
• 収束解析により、d = 2およびd = 3のスカラーの場合における極限挙動の安定性と一貫性が確認される。