[論文レビュー] A supercongruence involving cubes of Catalan numbers

Roberto Tauraso|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$p^3$ を法とするカタラン数の立方の切り捨て和について超合同式を確立し、Zhi-Wei Sunの以前の $p$ を法とする結果を拡張する。$p$-進ガンマ関数と超幾何恒等式を用いて、和 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k}$ が $p \mod 4$ に依存する合同式を満たすことを証明し、$\Gamma_p(1/4)^4$ とオイラー数を含む。$p \equiv 1 \pmod{4}$ および $p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合の明示的な表現が与えられる。

ABSTRACT

We mainly show a supercongruence for a truncated series with cubes of Catalan numbers which extends a result by Zhi-Wei Sun.

研究の動機と目的

• Zhi-Wei Sunのカタラン数の立方の $p$-超合同式を、より高い $p$-進精度、具体的には $p^3$ を法として拡張すること。
• モリタの $p$-進ガンマ関数 $\Gamma_p$ を用いて、切り捨て和 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k}$ の閉形式 $p$-進合同式を確立すること。
• 閉じた式が存在しない部分和 $C_k^d / (4^d)^k$ の $d=3$ の場合を、$p$-進解析と超幾何恒等式を用いて解明すること。
• 特に $p \equiv 1 \pmod{4}$ および $p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合の、既知の $p^2$ および $p^3$ を法とする合同式の精密化を提供すること。

提案手法

• Gouldの和公式 (2) と部分分数展開を用いて、$\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\binom{2k}{k}/(-4)^k$ を含む多項式重み付き和を導出する。
• $p$-進展開された二項係数と $p$-進ガンマ関数 $\Gamma_p$ を用いて、$n = (p-1)/2$ の場合の $\binom{2\lfloor n/2\rfloor}{\lfloor n/2\rfloor}^2 / 16^{\lfloor n/2\rfloor}$ を $p^3$ を法として分析する。
• 既知の超幾何恒等式、特にDixonの定理と[10]の補題4.2を用いて、調和数 $H_k^{(2)}$ を含む和を評価する。
• $p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合に、恒等式 $\sum_{k=0}^{2m} (-1)^k \binom{2m}{k}^3 H_k^{(2)} = \frac{(-1)^m}{2} \frac{(3m)!}{(m!)^3} (H_m^{(2)} + H_{2m}^{(2)})$ を用いる。
• $p \equiv 1 \pmod{4}$ の場合、$\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\binom{2k}{k}/(-4)^k(k+1)^3$ と $H_{k+1}^{(2)}$ を含む和の変換により合同式を導出する。
• $p$-進展開された調和数とオイラー数 $E_{p-3}$ を用い、$H_{\lfloor p/4\rfloor}^{(2)} \equiv_p (-1)^n 4E_{p-3}$ のような既知の合同式に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 切り捨て和 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k}$ について、Sunの $p$-合同式を拡張して $p^3$ を法とする超合同式を確立できるか？
• RQ2 $p$-進ガンマ関数 $\Gamma_p(1/4)$ はこのような超合同式の構造においてどのように現れるか？
• RQ3 $p \equiv 1 \pmod{4}$ と $p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合の $p^3$-合同式の表現にどのような違いがあるか？
• RQ4 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k^3 C_k^3}{64^k}$ のような高重み付き和に対しても $p^3$-超合同式が成り立つか？
• RQ5 超幾何恒等式と $p$-進調和数展開は、このような超合同式の証明にどのように寄与するか？

主な発見

• 任意の素数 $p > 2$ に対して、$p \equiv 1 \pmod{4}$ のとき、和 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} 8 - \frac{24p^2}{\Gamma_p^4(1/4)}$ が成り立つ。
• $p \equiv 3 \pmod{4}$ のとき、同じ和は $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} 8 - \frac{384}{\Gamma_p^4(1/4)}$ を満たす。
• $p \equiv 1 \pmod{4}$ の場合の合同式には、$-\Gamma_p^4(1/4)(1 + p^2 E_{p-3}/2)$ の項が含まれており、これによりオイラー数と関連づけられる。
• $p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合の合同式には、分子に $16 + 32p + p^2(48 - 8E_{p-3})$ の補正項が含まれる。
• 二次の超合同式として、$p \equiv 1 \pmod{4}$ のとき、$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k^3 C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} -\frac{p^2}{40\Gamma_p^4(1/4)}$ が証明された。
• $p \equiv 3 \pmod{4}$ のとき、同じ和は $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k^3 C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} -\frac{2}{5\Gamma_p^4(1/4)}$ を満たす。