[論文レビュー] A survey on geometry of warped product submanifolds

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 97被引用数 24

ひとこと要約

本調査は、リーマン、ケーラー、ニアリー・ケーラー、パラ・ケーラー、ササキアン多様体を含むさまざまな環境空間におけるワーペッド積部分多様体の微分幾何学について包括的な概説を提供する。基礎的結果を確立し、CR-ワーペッド積を分類し、δ-不等式を含む最適な不等式を導出し、ワーペッドの一般化としてのねじれ積部分多様体を導入することで、部分多様体幾何学分野における今後の研究の統合的基盤を提供する。

ABSTRACT

The warped product $N_1 imes_f N_2$ of two Riemannian manifolds $(N_1,g_1)$ and $(N_2,g_2)$ is the product manifold $N_1 imes N_2$ equipped with the warped product metric $g=g_1+f^2 g_2$, where $f$ is a positive function on $N_1$. The notion of warped product manifolds is one of the most fruitful generalizations of Riemannian products. Such notion plays very important roles in differential geometry as well as in physics, especially in general relativity. Warped product manifolds have been studied for a long period of time. In contrast, the study of warped product submanifolds was only initiated around the beginning of this century. In this article we survey important results on warped product submanifolds in various ambient manifolds. It is the author's hope that this survey article will provide a good introduction on the theory of warped product submanifolds as well as a useful reference for further research on this vibrant research subject.

研究の動機と目的

• 多様な幾何的環境空間におけるワーペッド積部分多様体に関する主要な結果を体系的かつ要約すること。
• ワーペッド積多様体が任意の余次元のユークリッド空間および一般のリーマン空間に等長埋め込みされる際の根本的問題を扱うこと。
• ワーペッド積の一般化としてのねじれ積部分多様体を導入し、それらを分析すること。
• CR-ワーペッド積に対してδ-不等式を導出し、それらを曲率および幾何学と関連付けること。
• 部分多様体幾何学および理論物理学への応用分野における今後の研究の基盤となること。

提案手法

• 論文は、環境リーマン多様体内の部分多様体の第二基本形式および平均曲率を分析するために、ガウスおよびウェイングルテンの公式を用いる。
• $ f $ をワーピング関数とする $ g = g_1 + f^2 g_2 $ というワーペッド積計量を用いて、$ N_1 \times_f N_2 $ の幾何学を定義する。
• ケーラーおよびニアリー・ケーラー多様体におけるCR-部分多様体の理論を適用し、特徴的なホロモーフィックおよび完全実因子を区別してCR-ワーペッド積を研究する。
• 複素空間およびユークリッド空間への埋め込みのテンソル積を用いて、ねじれ積CR-部分多様体の明示的例を構成する。
• δ-不変量および断面曲率などの主要な幾何的不変量を用いて、ワーペッド積部分多様体に対する最適な不等式を導出する。
• 16のテーマ的カテゴリーに整理された100余りの後続論文の結果を統合し、一貫性のある研究の全体像を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の余次元のユークリッド空間へのワーペッド積多様体の等長埋め込みから生じる幾何的制約は何か？
• RQ2 ケーラー多様体および複素空間形におけるδ-不変量が、CR-ワーペッド積部分多様体の幾何学にどのように制約を加えるか？
• RQ3 ワーピング関数が部分多様体の曲率および最小性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 ワーペッド積でないねじれ積部分多様体は、複素空間における新しいCR-部分多様体のクラスを生じるか？
• RQ5 ケーラー、ニアリー・ケーラー、ササキアン環境多様体におけるワーペッド積部分多様体の幾何的性質はどのように異なるか？

主な発見

• 論文は、ケーラー多様体におけるCR-ワーペッド積が、δ-不変量を含む最適な不等式を満たすことを確立し、曲率と内在的幾何学を結びつける。
• テンソル積の埋め込みを用いて、ねじれ積部分多様体 $ N_T \times_\lambda N_\perp $ が構成され、複素ユークリッド空間における非ワーピング例が得られる。
• 埋め込み $ \phi = (z,w) \otimes j $ が、$ N_T $ がホロモーフィックで $ N_\perp $ が完全実である $ \mathbb{C}^{(m+\ell)q} $ への等長埋め込みであることが示される。
• 平均曲率の二乗 $ H^2 $ は第二基本形式のトレースを用いて表現され、外在的曲率の尺度を提供する。
• 研究により、複素空間形におけるワーペッド積部分多様体は、特にホロモーフィック因子がコンパクトである場合に強い曲率制約を示すことが明らかになった。
• 調査は、16のテーマ的カテゴリーに分けられた100を超える後続論文を特定し、分野の急速な成長と広範な応用可能性を示している。