[論文レビュー] A theory of generalized Donaldson-Thomas invariants. I. An invariant counting stable pairs

Dominic Joyce, Yinan Song|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Calabi-Yau 3-fold 上の安定なペアを数える rational 値をとる一般化された Donaldson-Thomas 不変量 $¯{DT}^a(t)$ を導入し、厳密に半安定な層が存在する場合を含め、すべてのチャーン特徴量へ古典的 DT 不変量を拡張する。可換層のモジュライスタックの局所的臨界構造を用いて、安定性条件の変更における既知の変換則を有する変形不変理論を導出し、古典的不変量を一般化するとともに、非可換 DT 理論と関連付ける。

ABSTRACT

Let X be a Calabi-Yau 3-fold over C. The Donaldson-Thomas of X are integers DT^a(t) which count stable sheaves with Chern character a on X, with respect to a Gieseker stability condition t. They are defined only for Chern characters a for which there are no strictly semistable sheaves on X. They have the good property that they are unchanged under deformations of X. Their behaviour under change of stability condition t was not understood until now. This book defines and studies a generalization of Donaldson-Thomas invariants. Our new \bar{DT}^a(t) are rational numbers, defined for all Chern characters a, and are equal to DT^a(t) if there are no strictly semistable sheaves in class a. They are deformation-invariant, and have a known transformation law under change of stability condition. To prove all this we study the local structure of the moduli stack M of coherent sheaves on X. We show that an atlas for M may be written locally as Crit(f) for f a holomorphic function on a complex manifold, and use this to deduce identities on the Behrend function of M. We compute our in examples, and make a conjecture about their integrality properties. We extend the theory to abelian categories of representations of a quiver with relations coming from a superpotential, and connect our ideas with Szendroi's noncommutative Donaldson-Thomas invariants and work by Reineke and others. This book is surveyed in the paper arXiv:0910.0105.

研究の動機と目的

• すべてのチャーン特徴量へ古典的 Donaldson-Thomas 不変量を拡張する変形不変不変量を定義すること、特に厳密に半安定な層が存在する場合を含む。
• 安定性条件の変更における DT 不変量の不変性と変換則の欠如を解消すること。
• Calabi-Yau 3-fold 上の可換層のモジュライスタックに局所的臨界構造を確立し、一般化された不変量の構成を可能にすること。
• キーバーレーションと超ポテンシャルを用いたクーヴィー表現のアーベル圏へ一般化不変量を接続すること。
• 新しい不変量の整数性に関する予想を提示し、明示的な例で検証すること。

提案手法

• Calabi-Yau 3-fold 上の可換層のモジュライスタック M の局所的アトラスを、複素多様体上の正則関数 f の臨界点集合として構成する。
• 局所的臨界構造を用いて、M の Behrend 関数に関する恒等式を導出し、一般化不変量の定義に不可欠な役割を果たす。
• Behrend 関数を含む重み付きオイラー特性を用いて、一般化された DT 不変量 $¯{DT}^a(t)$ を有理数として定義する。
• $¯{DT}^a(t)$ が変形不変であり、安定性条件の変更における既知の変換則を満たすことを証明する。
• 超ポテンシャルから得られる関係を持つクーヴィー表現のアーベル圏へ枠組みを拡張し、Szendroi の非可換 DT 不変量と関連付ける。
• 理論を具体例で検証し、一般化不変量の整数性に関する予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして Donaldson-Thomas 不変量を、厳密に半安定な層が存在する場合を含め、すべてのチャーン特徴量へ拡張できるか？
• RQ2 安定性条件の変更における DT 不変量の振る舞いは何か？ そして、それが変換則によって記述可能か？
• RQ3 Calabi-Yau 3-fold 上の可換層のモジュライスタックは、正則関数 f の臨界点集合として局所的に記述可能か？
• RQ4 一般化不変量は、クーヴィー設定における非可換 Donaldson-Thomas 不変量とどのように関係するか？
• RQ5 一般化不変量はどのような整数性性質を満たし、幾何学的・圏論的構造に基づいて予想できるか？

主な発見

• 一般化不変量 $¯{DT}^a(t)$ は、厳密に半安定な層が存在する場合を含め、すべてのチャーン特徴量 a に対して有理数として定義される。
• クラス a に厳密に半安定な層が存在しない場合、$¯{DT}^a(t)$ は古典的 DT 不変量 DT^a(t) と一致する。
• $¯{DT}^a(t)$ は変形不変であり、対応する Calabi-Yau 3-fold の変形に対しても値が保たれる。
• 安定性条件の変更における $¯{DT}^a(t)$ の変換則が確立され、古典的挙動を一般化する。
• モジュライスタック M の局所的構造が、正則関数 f に対して Crit(f) に局所的に同型であることが示され、臨界関数技術の適用が可能になる。
• 理論は超ポテンシャル関係を持つクーヴィー表現へ拡張され、Szendroi の非可換 DT 不変量および Reineke の研究と関連づけられる。