[論文レビュー] A Topos Formulation of Consistent Histories

Cecilia Flori|ArXiv.org|Dec 7, 2008

Quantum Mechanics and Applications参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、退化関数や一貫集合に依存せずに、ヘイティング代数と時系列論理を用いて時系列に整列された命題に一般化された真偽値を割り当てる、トポス理論的枠組みを量子歴史理論に展開する。主な貢献は、時間的因果構造を保つトポスに基づくフレームワークであり、時間順序付きの文脈のプレシェーブのトポス内に同型な時系列論理構造を有する。

ABSTRACT

Topos theory has been suggested by Doring and Isham as an alternative mathematical structure with which to formulate physical theories. In particular it has been used to reformulate standard quantum mechanics in such a way that a novel type of logic is used to represent propositions. In this paper we extend this formulation to include temporally-ordered collections of propositions as opposed to single-time propositions. That is to say, we have developed a quantum history formalism in the language of topos theory where truth values can be assigned to temporal propositions. We analyse the extent to which such truth values can be derived from the truth values of the constituent, single-time propositions.

研究の動機と目的

• 退化関数や一貫集合に依存しない量子歴史のトポス理論的形式主義を構築すること。
• ドーリングとイシャムの量子力学のトポス定式化を、時系列に整列された命題を含めるように拡張すること。
• 量子状態の因果的進化を尊重する、トポスフレームワーク内での一貫した時系列論理を定義すること。
• 歴史命題の真偽値が、トポスに基づく評価写像を通じて、単一時刻の命題の真偽値とどのように関係するかを調査すること。
• 複合系におけるエンタングルされた、テンソル積でない文脈にこの形式主義を拡張する基盤を築くこと。

提案手法

• 文脈の圏上のプレシェーブのトポス、特に ${\bf Sets}^{(\mathcal{V}({\cal H}_{t_{1}})\times\mathcal{V}({\cal H}_{t_{2}}))^{\rm op}}$ を用いて、量子歴史命題を形式化する。
• トポス内の部分対象分類子 $\mathrm{Sub}(\underline{\Sigma}^{{\cal H}_{t}})$ を用いて、各時刻における命題のヘイティング代数を定義する。
• 結合歴史命題のヘイティング代数と単一時刻ヘイティング代数のテンソル積との間に同型を確立する。$\mathrm{Sub}(\underline{\Sigma}^{{\cal H}_{t_{1}}\otimes{\cal H}_{t_{2}}}) \cong \mathrm{Sub}(\underline{\Sigma}^{{\cal H}_{t_{1}}}) \otimes \mathrm{Sub}(\underline{\Sigma}^{{\cal H}_{t_{2}}})$。
• 中間のトポスにおける評価写像を構成し、歴史命題の時間的構造を保存する。
• トポスフレームワークを用いて、状態ベクトルの縮退や退化関数に依存せずに、歴史命題の一般化された真偽値を定義する。
• 純粋なテンソル積でないエンタングルされた文脈の論理的構造を調査し、現在の定式化における制限を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化関数や一貫集合に依存しない、量子歴史のトポス理論的定式化を構築することは可能か？
• RQ2 時系列に整列された歴史命題の真偽値は、トポスフレームワーク内において、その単一時刻成分の真偽値とどのように関係するか？
• RQ3 時系列論理はトポス定式化において果たす役割は何か？また、状態ベクトルの縮退が存在しない状況でも、因果的構造はどのように時間経過で保たれるか？
• RQ4 このトポス形式主義は、複合系におけるエンタングルされた、テンソル積でない文脈を扱えるように拡張可能か？
• RQ5 このトポスに基づく歴史定式化内で、経路積分や退化関数を回復することは可能か？

主な発見

• 結合歴史命題のヘイティング代数と単一時刻ヘイティング代数のテンソル積との間の同型が確立され、時間的構造が保存された。
• 中間トポスにおける評価写像は、歴史命題の時間的論理を正しく保存し、時間的整合性を保証する。
• このフレームワークは、退化関数や一貫集合を必要とせず、量子歴史理論の新たな基盤を提供する。
• 歴史命題の真偽値は、状態ベクトルの縮退を介さずに、トポス理論的構造を通じて単一時刻の命題から導出される。
• 状態ベクトルの縮退が存在しないことから、後続時刻の真偽値は、崩壊ではなくユニタリ発展を通じて以前の時刻のものと因果的に関連している。
• エンタングルされた文脈に関する未解決の問題が、この定式化によって特定され、トポスフレームワーク内に確率論的要素や退化関数を再導入する可能性が示唆された。