[論文レビュー] A TQFT of Intersection Numbers on Moduli Spaces of Admissible Covers

Renzo Cavalieri|ArXiv.org|Dec 11, 2005

Polynomial and algebraic computation参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可換被覆のモジュライ空間上の不変量としての等変交差数を構造定数にもつ二段階・重み付きトポロジカル量子場理論（TQFT）を構成する。$ℝ\mathbb{P}^1$ への可換被覆のモジュライ空間における局在化を用いることで、この理論は明示的に計算され、対称群 $S_d$ の類代数の1パラメータ変形であるフォーベニウス代数が得られ、特別な場合には表現論を用いて閉じた公式が導かれる。

ABSTRACT

We construct a two-level weighted TQFT whose structure coefficents are equivariant intersection numbers on moduli spaces of admissible covers. Such a structure is parallel (and strictly related) to the local Gromov-Witten theory of curves of Bryan-Pandharipande. We compute explicitly the theory using techniques of localization on moduli spaces of admissible covers of a parametrized projective line. The Frobenius Algebras we obtain are one parameter deformations of the class algebra of the symmetric group S_d. In certain special cases we are able to produce explicit closed formulas for such deformations in terms of the representation theory of S_d.

研究の動機と目的

• 可換被覆のモジュライ空間上の等変交差数を構造係数にもつ二段階・重み付きTQFTを構成すること。
• BryanとPandharipande（BP04）が開発した局所Gromov-Witten理論とこのTQFTとの関係を明らかにすること。特に、レベル (0,0) で等価であり、より高いレベルでは普遍的生成関数を用いた正規化が成り立つこと。
• $ℝ\mathbb{P}^1$ への可換被覆のモジュライ空間における局在化技術を用いて、このTQFTを明示的に計算すること。
• 対角線に沿った $ℝ^*$-作用の下で、対称群 $S_d$ の表現論を用いて不変量と変形の閉じた公式を導出すること。
• 得られるフォーベニウス代数が、$S_d$ の類代数の1パラメータ変形であることを確立し、特別な場合に明示的な公式を与えること。

提案手法

• パrametrizedされた $ℝ\mathbb{P}^1$ への可換被覆のモジュライ空間におけるAtiyah-Bott局在化を用いて不変量を計算する。
• 次元数え上げと $¯{M}_{g,n}$ 上の古典的交差理論への還元を適用する。
• Faber-Pandharipande や ELSV のホッジ積分計算を用いて、レベル間の不変量を関連付ける。
• 対角線に沿った $ℝ^* \times \u211d^*$-作用に特化することで、理論を対角化し、表現論的公式の導出を可能にする。
• 可換被覆のモジュライ空間の正規化を、$ℝ S_d$ へのバランスの取れた安定写像としてのACVスタック的記述を用いる。
• TQFTの半単純性と生成関数の比較に依拠して、Bryan-Pandharipande理論との等価性（正規化係数を除く）を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換被覆のモジュライ空間上の等変交差数は、どのように構造的なTQFTに整理できるか？
• RQ2 本TQFTとBryanとPandharipandeが開発した曲線の局所Gromov-Witten理論との正確な関係は何か？
• RQ3 $S_d$ の表現論を用いて、このTQFTの不変量に対する明示的閉じた公式を導出できるか？
• RQ4 対角線に沿った $ℝ^*$-作用は、TQFTを対角化し、構造定数を単純化するために果たす役割は何か？
• RQ5 本TQFTのフォーベニウス代数は、$S_d$ の類代数とどのように関係し、どのような意味でその変形であるか？

主な発見

• 理論 $\mathcal{U}$ は、二段階・半単純・重み付きTQFTであり、可換被覆のモジュライ空間上の等変交差数を構造係数にもつ。
• 得られるフォーベニウス代数は、$S_d$ の類代数の1パラメータ変形であり、次数0部分はHurwitz数から生じる。
• 対角線の場合、不変量はシュール関数と表現論的データを用いて明示的な閉じた公式で表される：$\mu_\rho = s^d \left(\frac{\dim_Q \rho}{\dim \rho}\right) Q^{n(\rho)}$。
• レベル $(0,-1)$ の1点付加 genus 0 不変量は、生成関数 $A_d(0|0,-1)_\eta = (-1)^{d-\ell(\eta)} \frac{(2\sin(u/2))^d}{(s_1)^{\ell(\eta)} \mathfrak{z}(\eta) \prod 2\sin(\eta_i u / 2)}$ で与えられる。
• $\mathcal{U}$ と $\mathcal{BP}$（Bryan-Pandharipande）の理論は、$A_d(g|k_1,k_2)_\eta = (d!)^{k_1+k_2} s_1^{dk_2} s_2^{dk_1} \mathcal{BP}_d(g|k_1,k_2)_\eta \cdot \mathcal{BP}_d(0|0,-1)_{(1,\dots,1)}^{k_1+k_2}$ によって関係づけられ、$\mathcal{U}$ が $\mathcal{BP}$ の正規化であることが示される。
• この理論は、$[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_3]$ の局所Gromov-Witten不変量のTQFT的実現を提供し、$Q$-変形次元およびフック長さを用いて $\mu_\rho$ と $\overline{\mu}_\rho$ の明示的公式が得られる。