[論文レビュー] A Unified Generating Function of the q-Genocchi Polynomials with their Interpolation Functions

Serkan Aracı, Mehmet Açıkgöz+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 19被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、パrameter a, b, k, β, q を用いたパラメータ化された生成関数を通じて、古典的および q-拡張 Genocchi 多項式を統一的に一般化する q-Genocchi 多項式の統一的生成関数を導入する。Mellin 変換を用いて、負の整数におけるこれらの多項式を補間する q-拡張 Hurwitz-zeta 関数を導出し、特殊値における zeta 関数と多項式係数の間の関数的関係を確立する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to construct of the unification q-extension Genocchi polynomials. We give some interesting relations of this type of polynomials. Finally, we derive the q-extensions of Hurwitz-zeta type functions from the Mellin transformation of this generating function which interpolates the unification of q-extension of Genocchi polynomials.

研究の動機と目的

• パラメータ a, b, k, β, q を含む、q-Genocchi 多項式の統一的生成関数を構築すること。
• 古典的および既存の q-拡張 Genocchi 多項式を一つの枠組みに統合すること。
• Mellin 変換を用いて、これらの多項式の補間関数を導出すること。
• 負の整数において統一的 q-Genocchi 多項式を補間する q-拡張 Hurwitz-zeta 関数を確立すること。

提案手法

• 生成関数 $ \mathcal{F}_{\beta,q}(t,x|k,a,b) = -[2]_q^{1-k} t^k \sum_{m=0}^\infty \beta^{bm} a^{-bm-b} e^{[m+x]_q t} $ を定義し、これにより統一的 q-Genocchi 多項式 $ S_{n,\beta,q}(x|k,a,b) $ を生成する。
• コーシー積および生成関数の恒等式を用いて、多項式の恒等式 $ S_{n,\beta,q}(x|k,a,b) = \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} q^{lx} S_{l,\beta,q}(k,a,b) [x]_q^{n-l} $ を導出する。
• 標準的な累乗の表記に従い、閉形式の表現 $ S_{n,\beta,q}(x|k,a,b) = \left( S_{\beta,q}(k,a,b) + [x]_q \right)^n $ を確立する。
• 生成関数に Mellin 変換を適用し、補間関数 $ \boldsymbol{\Im}_{\beta,q}(s;x,a,b) = [2]_q^{1-k} \sum_{m=0}^\infty \frac{\beta^{bm} a^{-bm-b}}{[m+x]_q^s} $ を定義する。この関数はすべての $ s \in \mathbb{C} $ に対して有効である。
• 特殊値 $ \boldsymbol{\Im}_{\beta,q}(-n;x,a,b) = -\frac{(n-k)!}{n!} S_{n,\beta,q}(x|k,a,b) $ を証明し、zeta 関数と多項式係数との間の直接的な関係を確立する。
• 分布公式を導出する：$ S_{n,\beta,q}(x|k,a,b) = \frac{[2]_q^{1-k}}{[2]_{q^d}^{1-k}} [d]_q^{n-k} \sum_{l=0}^{d-1} \left( \frac{\beta}{a} \right)^{bl} S_{n,\beta^d,q^d}\left( \frac{x+l}{d} \middle| k, a^d, b \right) $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的および既存の q-拡張 Genocchi 多項式を、パラメータ a, b, k, β, q を用いた単一の生成関数枠組みでどのように統一できるか？
• RQ2 統一的生成関数から生じる関数的恒等式および再帰的関係は何か？
• RQ3 負の整数において統一的 q-Genocchi 多項式を補間する q-拡張 Hurwitz-zeta 関数を構築できるか？
• RQ4 q-zeta 関数の特殊値と q-Genocchi 多項式の係数との間の関係は何か？
• RQ5 分布公式は、変数 x のスケーリングおよびシフトに対して、統一的 q-Genocchi 多項式の振る舞いをどのように一般化するか？

主な発見

• 統一的生成関数 $ \mathcal{F}_{\beta,q}(t,x|k,a,b) $ は、パラメータ a, b, k, β, q を組み込むことで、古典的 Genocchi 多項式、Euler 多項式、および q-Genocchi 多項式を一般化する。
• 多項式 $ S_{n,\beta,q}(x|k,a,b) $ は恒等式 $ S_{n,\beta,q}(x|k,a,b) = \left( S_{\beta,q}(k,a,b) + [x]_q \right)^n $ を満たし、二項型の構造を示す。
• 生成関数の Mellin 変換により、複素平面上で正則であるメロモルフィックな q-zeta 関数 $ \boldsymbol{\Im}_{\beta,q}(s;x,a,b) = [2]_q^{1-k} \sum_{m=0}^\infty \frac{\beta^{bm} a^{-bm-b}}{[m+x]_q^s} $ が得られる。
• 特殊値 $ \boldsymbol{\Im}_{\beta,q}(-n;x,a,b) = -\frac{(n-k)!}{n!} S_{n,\beta,q}(x|k,a,b) $ により、負の整数における zeta 関数と多項式係数との間の直接的な関係が確立される。
• 分布公式が導出される：$ S_{n,\beta,q}(x|k,a,b) = \frac{[2]_q^{1-k}}{[2]_{q^d}^{1-k}} [d]_q^{n-k} \sum_{l=0}^{d-1} \left( \frac{\beta}{a} \right)^{bl} S_{n,\beta^d,q^d}\left( \frac{x+l}{d} \middle| k, a^d, b \right) $。これは多項式のモジュラスシフトにおける振る舞いを一般化する。
• 極限 $ \lim_{q \to 1} \mathcal{F}_{\beta,q}(t,x|k,a,b) = \frac{2^{1-k} t^k e^{xt}}{\beta^b e^t - a^b} $ により、Ozden による Bernoulli、Euler、Genocchi 多項式の統一が回復される。