[論文レビュー] A Universality Theorem for Nested Polytopes

Michael Gene Dobbins, Andreas F. Holmsen+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ネストド・ポリトープ問題（NPP）の普遍性定理を確立し、任意の有界な実代数的多様体が、あるNPPインスタンスの正規化された解空間と有理同値であることを証明する。主な結果は、NPPが ∃ℝ-完全であることであり、これは存在論的実数理論と同等のアルゴリズム的難易度を有することを示唆する。証明は、ネストド・ポリトープの幾何的構成を用いて、有理同値を介して多項式系をシミュレートする。

ABSTRACT

In a nutshell, we show that polynomials and nested polytopes are topological, algebraic and algorithmically equivalent. Given two polytops $A\subseteq B$ and a number $k$, the Nested Polytope Problem (NPP) asks, if there exists a polytope $X$ on $k$ vertices such that $A\subseteq X \subseteq B$. The polytope $A$ is given by a set of vertices and the polytope $B$ is given by the defining hyperplanes. We show a universality theorem for NPP. Given an instance $I$ of the NPP, we define the solutions set of $I$ as $$ V'(I) = \{(x_1,\ldots,x_k)\in \mathbb{R}^{k\cdot n} : A\subseteq ext{conv}(x_1,\ldots,x_k) \subseteq B\}.$$ As there are many symmetries, induced by permutations of the vertices, we will consider the \emph{normalized} solution space $V(I)$. Let $F$ be a finite set of polynomials, with bounded solution space. Then there is an instance $I$ of the NPP, which has a rationally-equivalent normalized solution space $V(I)$. Two sets $V$ and $W$ are rationally equivalent if there exists a homeomorphism $f : V ightarrow W$ such that both $f$ and $f^{-1}$ are given by rational functions. A function $f:V ightarrow W$ is a homeomorphism, if it is continuous, invertible and its inverse is continuous as well. As a corollary, we show that NPP is $\exists \mathbb{R}$-complete. This implies that unless $\exists \mathbb{R} =$ NP, the NPP is not contained in the complexity class NP. Note that those results already follow from a recent paper by Shitov. Our proof is geometric and arguably easier.

研究の動機と目的

• ネストド・ポリトープ問題（NPP）の普遍性定理を確立し、NPPインスタンスの解空間が任意の有界な実代数的多様体を実現できることを示すこと。
• 実数上の存在文の解空間とNPPの解空間との間の有理同値関係を構築することで、NPPが ∃ℝ-完全であることを示すこと。
• 代数的証明とは異なり、幾何的で構成的な証明を提供することで、NPPの ∃ℝ-完全性を示すこと。
• NPPのアルゴリズム的複雑性を明確にし、特にNPおよび存在論的実数理論との関係を明らかにすること。
• この結果がパラメータ付き複雑性および実用的ソルバー（IPベースのアルゴリズムを含む）に与える影響を検討すること。

提案手法

• 2つの集合 $ U = \{u_{i,k}\} $ および $ V = \{v_{i,j}\} $ の凸包として多面体 $ B $ を構成する。これらは $ \mathbb{R}^{2+n+m} $ 内のアフィン座標で定義され、$ B $ がフル次元の凸多面体であることを保証する制約を満たす。
• アフィン空間内での固定点のアフィン結合を用いて、多項方程式を符号化する点 $ y_{i,j}, z_{i,j}, p_{i,j,k}, q_{i,j,k,l}, r_{i,j,k} $ を用いて、内部多面体 $ A $ を定義する。
• 多項方程式系の解 $ \alpha_{i,j} $ を用いて、頂点 $ x_{i,j} = v_{0,j} + (1 + \alpha_{i,j})(v_{i,j} - v_{0,j}) $ を割り当てる有理写像 $ f: V(I) \to V(J) $ を定義する。
• 連続的かつ可逆な有理関数を有する写像を用いて、NPPの正規化解空間 $ V(I) $ と与えられた有界な多項式系 $ F $ の解多様体 $ V(F) $ の間の有理同値性を確立する。
• 有理同値性が、トポロジー的・代数的・アルゴリズム的性質（特に多項式時間還元における複雑性）を保存することを活用する。
• 多項式制約をネストド・ポリトープ内の頂点配置の幾何的制約に変換することで、NPPインスタンスが存在論的実数理論（ETR）の任意のインスタンスをシミュレートできることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有界な実代数的多様体は、あるネストド・ポリトープ問題（NPP）インスタンスの正規化解空間として実現可能か？
• RQ2 NPPは ∃ℝ-完全であるか、すなわち存在論的実数理論の全複雑性を捉えているか？
• RQ3 ネストド・ポリトープの幾何的構成は、有理同値性を介して、任意の多項式方程式系をシミュレート可能か？
• RQ4 NPPはNPに属するか、それとも ∃ℝ-完全性が示唆するように、NPよりも厳密に難しいか？
• RQ5 高い複雑性にもかかわらず、整数計画法ソルバーに基づく実用的アルゴリズムがNPPに効果的に適用可能か？

主な発見

• 任意のNPPインスタンスの解空間 $ V(I) $ は、有界な多項式方程式系の解多様体 $ V(F) $ と有理同値であり、両者間に有理関数の逆を持つホメオモーティズムが存在する。
• NPPは ∃ℝ-完全である。これは、∃ℝ = NP でない限り、問題がNPに属さず、NP完全問題よりも厳密に難しいことを示唆する。
• 証明は、固定点のアフィン結合を用いて変数と制約を符号化することで、任意の有界な代数的多様体をネストド・ポリトープインスタンスの正規化解空間として幾何的に実現する。
• 各解の頂点が所定の線分上に位置することを保証し、全順序によって頂点の順序を固定することで、解空間を $ \mathbb{R}^{kn} $ に埋め込むことができる。
• 多項式系の解からNPPの解への写像は線形全単射であり、逆写像も有理関数であるため、有理同値性が確認される。
• この結果により、ネストド・ポリトープは代数的・位相的・アルゴリズム的観点から実代数的多様体と同値であり、幾何的複雑度理論における普遍性結果が確立された。