[論文レビュー] A vanishing theorem for sheaves of small differential operators in positive characteristic

Alexander Samokhin|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴値 p がコックスター数より大きいとき、型 A_n の部分旗多様体（インシデント多様体）および正の特性 p における滑らかな二次曲面の小さな微分作用素の層に対して、消滅定理を確立する。Frobenius プッシュフォワードの構造層の自己同型層の高次コホモロジー群が消えることを証明し、導来局在化およびコホモロジー的技法を用いて、これらの条件下で Frobenius プッシュフォワードがティルティング bundle であることを示す。これは、正の特性における D-アフィン性および導来同値性の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth variety over an algebraically closed field $k$ of positive characteristic, ${ m D}_X$ the sheaf of PD-differential operators, and ${\bar D}_X$ its central reduction, the sheaf of small differential operators. In this paper we show that if $X$ is a line-hyperplane incidence variety (a partial flag variety of type $(1,n,n+1)$) or a quadric of arbitrary dimension (in this case the characteristic is supposed to be odd) then ${ m H}^{i}(X,{\bar D}_X)=0$ for $i>0$. Using this vanishing result and the derived localization theorem for crystalline differential operators (\cite{BMR}) we show that the Frobenius pushforward of the structure sheaf is a tilting bundle on these varieties, provided that $p>h$, the Coxeter number of the corresponding group.

研究の動機と目的

• 正の特性における特定の同調的空間（部分旗多様体）における小さな微分作用素の層のコホモロジー消滅を確立すること。
• 正の特性の設定へ D-アフィン性および導来局在化の理論を拡張すること。
• p > h のとき、インシデント多様体および滑らかな二次曲面 X における構造層の Frobenius プッシュフォワード F_*O_X がティルティング bundle であることを証明すること。
• 一般に、G/P 上の小さな微分作用素のコホモロジー消滅に関する広範な予想に証拠を提供すること。

提案手法

• 特徴値 p > 0 におけるインシデント多様体 X = F_{1,n,n+1} および滑らかな二次曲面 Q_n に対して、H^i(X, End_{O_X^p}(O_X)) の高次コホモロジー群の消滅を証明する。
• 結晶的微分作用素に対する導来局在化定理を適用し、End 層のコホモロジーと D-加群の導来圏との関係を結ぶ。
• G/P の余接束上のラインバンドルの消滅定理を用いて、微分作用素の層のコホモロジーを制御する。
• Frobenius の引き戻しおよびプッシュフォワード関手を用い、カルティエ下降を活用して X および X′ 上のコホモロジー的条件を関連付ける。
• 随伴法および導来圏技法を用いて、F_*O_X が導来圏 D^b(X) を生成することを示し、ティルティング性を示す。
• 二次曲面および旗多様体における例外的コレクションの既知の結果に依拠し、ティルティング性を圏論的に解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分旗多様体 F_{1,n,n+1} 上の小さな微分作用素の層は、正の特性において高次コホモロジーをもたないか？
• RQ2 滑らかな二次曲面 Q_n 上の小さな微分作用素の層は、p が奇数で p > h のとき、高次コホモロジーをもたないか？
• RQ3 正の特性における同調的空間 G/P 上で、Frobenius プッシュフォワード F_*O_X がティルティング bundle である条件は何か？
• RQ4 導来局在化定理を用いて、End 層のコホモロジー消滅からティルティング性を導けるか？
• RQ5 D-加群のベイリソン＝バーナイン局在化定理の特性 p における類似定理は存在するか？

主な発見

• X がインシデント多様体 F_{1,n,n+1} で p > n+1 のとき、すべての i > 0 に対して H^i(X, End_{O_X^p}(O_X)) = 0 である。
• Q_n が滑らかな二次曲面で p が奇数かつ p > n - (-1)^n のとき、すべての i > 0 に対して H^i(Q_n, End_{O_{Q_n}^p}(O_{Q_n})) = 0 である。
• p > n+1 のとき、F_{1,n,n+1} 上で Frobenius プッシュフォワード F_*O_X はティルティング bundle である。
• p > n - (-1)^n のとき、滑らかな二次曲面 Q_n 上で Frobenius プッシュフォワード F_*O_{Q_n} はティルティング bundle である。
• 導来局在化定理により、コホモロジー消滅が成立するとき、F_*O_X は導来圏 D^b(X) を生成する。
• これらの結果は、十分に大きな p に対して H^i(G/P, End_{O_{G/P}^p}(O_{G/P})) = 0 がすべての i > 0 で成り立つという予想を支持する。