[論文レビュー] A Zvonkin's transformation for stochastic differential equations with singular drift and related applications

Chenggui Yuan, Shao‐Qin Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特異的かつリプシッツ連続なドリフトを併せ持つ確率的微分方程式（SDE）に対して、特異的1次項を含む放物型PDEのための新しい$L^p$-$L^q$およびソボレフ評価を用いて、Zvonkin型変換の新規な構成を提案する。この手法により、$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ の条件下で、ホルダー連続な拡散係数と特異的ドリフトを有するSDEに対して、Krylovの評価およびハルナック不等式が導出可能となる。特に、$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < \frac{1}{2}$ のときには、余分な定数を含まないハルナック不等式が得られる。

ABSTRACT

In this paper, by establishing the $L^p$-$L^q$ estimate and Sobolev estimates for parabolic partial differential equations with a singular first order term and a Lipschitz first order term, a new Zvonkin-type transformation is given for stochastic differential equations with singular and Lipschitz drifts. The associated Krylov's estimate is established. As applications, Harnack inequalities are established for stochastic equations with Hölder continuous diffusion coefficient and singular drift term without regularity assumption.

研究の動機と目的

• 特異的かつリプシッツ連続ドリフトを併せ持つSDEに対して、ドリフトの線形成長が原因で従来の手法が失敗する状況でも有効な、新しいZvonkin型変換を開発すること。
• 特異的1次項を含む放物型PDEのための$L^p$-$L^q$およびソボレフ評価を確立し、先行研究の制限を克服すること。
• ホルダー連続な拡散係数と特異的ドリフトを有するSDEに対して、ドリフトの正則性仮定を必要とせずにKrylovの評価およびハルナック不等式を導出すること。
• 変換されたSDEにおけるパスワイズ一意性および強解の存在を証明し、不規則な係数のより広いクラスへ結果を拡張すること。

提案手法

• 変換関数$\phi(t,x)$を満たす新しい放物型PDEを解く：$\partial_t\phi^i + \frac{1}{2}\mathrm{tr}(\sigma\sigma^*\nabla^2\phi^i) + \langle b + b_0, \nabla\phi^i \rangle = -b_0^i + \lambda\phi^i$。この変換関数により、Zvonkin変換$\Phi_t(x) = \phi(t,x) + x$が定義される。
• 特異的ドリフト$b_0$が$\int_0^T \left( \int_{\mathbb{R}^d} |b_0|^p \, dx \right)^{q/p} dt < \infty$を満たし、$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ を満たす場合に、重み付き$L^p$-$L^q$空間で変換を構築する。
• 元のSDEを正則性を保つように変換するため、逆変換$\Phi_t^{-1}$を用い、変換後のSDEにおけるドリフト項がリプシッツ連続であることを保証する。
• 文献[25, 26]にインspiredされた修正されたカップリング法を用いてハルナック不等式を導出する。これにより、指数が$(\frac{1}{2}, 1]$に属するホルダー連続な拡散係数に対しても適用可能となる。
• パスワイズ一意性を証明するため、ハーディー＝リトルウッドの最大関数および確率的グロワールの不等式を用いた鋭い評価に依存する。
• 理論的道具として、$W^{2,p}_q$評価および埋め込み定理を用い、変換およびその逆変換の正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトの時間微分$\partial_t\phi$に関する標準的な$L^p$-$L^q$評価が破綻する状況下で、特異的およびリプシッツ連続ドリフトを併せ持つSDEに対してZvonkin型変換を構成可能か？
• RQ2 新しい変換が変換後のSDEにおけるドリフトのリプシッツ性を保つのか？これにより、既知の正則性ツールの適用が可能になるか？
• RQ3 ホルダー連続な拡散係数と特異的ドリフトを有するSDEに対して、$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ の$L^p$-$L^q$条件の下でハルナック不等式を確立可能か？
• RQ4 より厳しい条件$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < \frac{1}{2}$ の下で、余分な定数を含まないハルナック不等式を導出可能か？
• RQ5 拡散係数が指数$(\frac{1}{2}, 1]$のホルダー連続性を有するが、ドリフトが特異的であるSDEに対して、パスワイズ一意性をどのように確立できるか？

主な発見

• 特異的1次項を含む放物型PDEを解くことにより、$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ の$L^p$-$L^q$条件下で、特異的およびリプシッツ連続ドリフトを有するSDEに対する新しいZvonkin型変換が構成された。
• 変換により、変換後のSDEにおけるドリフトがリプシッツ連続のままであることが保証され、これによりKrylovの評価およびパスワイズ一意性の適用が可能となった。
• ホルダー連続な拡散係数（指数$[\frac{1}{2}, 1]$）と特異的ドリフトを有するSDEに対して、$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ の下で、べき乗型のハルナック不等式が確立された。
• $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < \frac{1}{2}$ のときには、余分な定数を含まないハルナック不等式が導出され、先行研究を改善した。
• 修正されたカップリング法および確率的グロワールの不等式を用い、最大関数の評価および$\nabla\sigma$の$L^p_q$空間における可積分性に依存して、パスワイズ一意性が証明された。
• 本手法により、Zvonkin変換の適用範囲が、線形成長ドリフトおよび特異係数を有するSDEへと拡張され、従来の研究の制限を克服した。