[論文レビュー] About construction of orthogonal wavelets with compact support and with scaling coefficient N

Paulina Podkur, N. K. Smolentsev|ArXiv.org|May 29, 2007

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の整数スケーリング係数 $N \geq 2$ を持つコンパクトサポート正規直交ウェーブレットを構築するシンプルで体系的な手法を提示する。この手法は、実多項式係数をもつユニタリなポリフェーズ行列を用いる。正規直交行列をパrameter化し、特別な行列 $R(z)$ を用いた変換を適用することで、有効なスケーリング関数と $N-1$ 個の直交ウェーブレットが生成され、$N=2$ および $N=3$ について明示的な構成が行われ、フィルタ係数とリファインメント方程式が含まれる。

ABSTRACT

In this paper a simple method of construction of scaling function $ϕ(x)$ and orthogonal wavelets with the compact support for any natural coefficient of scaling $N\ge 2$ is given. Examples of construction of wavelets for coefficients of scaling N=2 and N=3 are produced.

研究の動機と目的

• コンパクトサポートと任意のスケーリング係数 $N \geq 2$ を持つ正規直交ウェーブレットを構築する一般的で体系的な手法を開発すること。
• 実多項式係数をもつポリフェーズ行列 $A(w)$ の設計を単純化し、従来の構成の複雑さを克服すること。
• 任意の $N \geq 2$ に対して、スケーリング関数 $\varphi(x)$ と $N-1$ 個の直交ウェーブレット $\psi^k(x)$ を明示的に構築できること。
• $N=2$ および $N=3$ に対して、閉形式のフィルタ係数とリファインメント方程式を含む具体的なウェーブレット系の例を提供すること。
• 周波数応答におけるユニタリ行列条件により、得られるウェーブレットが $L^2(\mathbb{R})$ において正規直交基底を形成することを保証すること。

提案手法

• 正規直交行列 $A_0$、対角ユニタリ行列 $D_k(w)$、および別の正規直交行列 $B_0$ を組み合わせることで、単位円上でユニタリである実多項式係数をもつ行列 $A(w)$ を構築する。
• 周波数応答行列を生成するために、$H(z) = A(z^N) R(z)$ の変換を用いる。ここで $R(z)$ は $N$ 乗根の単位根から導かれる固定されたユニタリ行列である。
• 逆フーリエ変換により周波数関数 $H_k(z)$ からウェーブレットフィルタ $g^k_n$ を導出し、直交性とコンパクトサポートを保証する。
• リファインメント方程式 $\varphi(x) = \sqrt{N} \sum_n h_n \varphi(Nx - n)$ およびウェーブレット分解 $\psi^k(x) = \sqrt{N} \sum_n g^k_n \varphi(Nx - n)$ を用いてスケーリング関数 $\varphi(x)$ とウェーブレット $\psi^k(x)$ を再構築する。
• 構成上 $H(z)$ がユニタリであることを保証することで、$L^2(\mathbb{R})$ におけるウェーブレット基底の正規直交性を保証する。
• 具体的な例（$N=2$ および $N=3$）を用いて手法の妥当性を検証し、フィルタ係数と $\varphi(x)$、$\psi^1(x)$、$\psi^2(x)$ の図示による可視化結果を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の整数スケーリング係数 $N \geq 2$ を持つコンパクトサポート正規直交ウェーブレットを体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 正規直交性を保証する実多項式係数をもつポリフェーズ行列 $A(w)$ を生成するシンプルで一般的な手法は何か？
• RQ3 ウェーブレット構成をパラメータ化された正規直交行列の族に還元することで、多様なウェーブレット系の構築を可能にすることができるか？
• RQ4 パラメータ $t$ を用いた構成において、フィルタ係数とリファインメント方程式はどのように変化するか？
• RQ5 サポートが非自明かつ非一様である場合、スケーリング関数 $\varphi(x)$ の構造的およびフラクタル的性質は何か？

主な発見

• ユニタリなポリフェーズ行列と実多項式係数を用いた、任意のスケーリング係数 $N \geq 2$ を持つコンパクトサポート正規直交ウェーブレットを構築する一般的でシンプルな手法が確立された。
• $N=3$ について、$t = \pi/12, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2, 2\pi/3, \pi, 4\pi/3$ の各パラメータ値に対して $h_n$、$g^1_n$、$g^2_n$ の明示的なフィルタ係数が導出され、閉形式の式が提供された。
• $t = 2\pi/3$ のとき、スケーリング関数 $\varphi(x)$ はハールウェーブレット系に対応し、$\varphi(x) = \chi_{[1/2, 3/2)}(x)$ となる。これは既知の正規直交ウェーブレットと整合することを確認した。
• $t = 4\pi/3$ のとき、スケーリング関数 $\varphi(x)$ はフラクタル的なサポートを示し、非一様で複雑な構造を示しており、非自明な幾何的性質を示している。
• $N=3$ のリファインメント方程式は明示的に $\varphi(x) = \frac{1}{3} \left( (2-\sqrt{3})\varphi(3x) + 2\varphi(3x-1) + \cdots + (1-\sqrt{3})\varphi(3x-5) \right)$ と与えられ、正確な係数が得られた。
• 図版（図7～13）により、構築されたウェーブレットのコンパクトサポートと直交性が確認され、$\psi^1(x)$ と $\psi^2(x)$ が $L^2(\mathbb{R})$ において正規直交基底を形成することが示された。