[論文レビュー] Algebraic Surfaces Holomorphically Dominable by C2

Stephen S. Y. Lu, Gregery T. Buzzard|arXiv (Cornell University)|May 23, 2000

Geometry and complex manifolds被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、コホーモロジー次元と基本群の不変量を用いて、ℂ² によって支配可能な代数的表面を分類する。Kodaira 次元が 2 より小さい（特定の K3 表面を除く）表面に対して、支配可能性は ℂ のザリスキ・DNA な正則像の存在と同値であることを示している。主な結果は、このような表面が有限個の点の小さな近傍を除いても、依然として支配可能であることであり、例外は非楕円的かつ非 Kummer の K3 表面に限る。

ABSTRACT

An n-dimensional complex manifold M is said to be (holomorphically) dominable by $\CC^n$ if there is a map $F:\CC^n a M$ which is holomorphic such that the Jacobian determinant $\det(DF)$ is not identically zero. Such a map F is called a dominating map. In this paper, we attempt to classify algebraic surfaces X which are dominable by $\CC^2$ using a combination of techniques from algebraic topology, complex geometry and analysis. One of the key tools in the study of algebraic surfaces is the notion of Kodaira dimension (defined in section 2). By Kodaira's pioneering work and its extensions, an algebraic surface which is dominable by $\CC^2$ must have Kodaira dimension less than two. Using the Kodaira dimension and the fundamental group of X, we succeed in classifying algebraic surfaces which are dominable by $\CC^2$ except for certain cases in which X is an algebraic surface of Kodaira dimension zero and the case when X is rational without any logarithmic 1-form. More specifically, in the case when X is compact (namely projective), we need to exclude only the case when X is birationally equivalent to a K3 surface (a simply connected compact complex surface which admits a globally non-vanishing holomorphic 2-form) that is neither elliptic nor Kummer (see sections 3 and 4 for the definition of these types of surfaces).

研究の動機と目的

• ℂ² による支配可能性を複素幾何学と代数的位相の手法を用いて分類すること。
• 表面が ℂ² から支配的正則写像をもつための明確な条件を特定すること。
• 有限個の点の小さな近傍を除いた場合に、支配可能性が保たれるかを調査すること。
• Kodaira 次元と基本群が支配可能性を決定づける役割を明確にすること。
• 非例外的ケースにおいて、支配可能性と property C の欠如（ℂ のザリスキ・DNA な正則像の存在）との同値性を解明すること。

提案手法

• 表面のクラスを制限するために、主に Kodaira 次元を不変量として用いる。
• 正則写像やヤコビアンの消滅しない条件を含む、複素幾何学および解析学の技法を適用する。
• Arakelian の定理を用いて、指定された定義域上で対数項を近似する整関数を構成する。
• ℂ² 上に双正則写像 F₁ と F₂ を構成し、離散的格子の像を変形し、指定された近傍 V を避ける。
• ヤコビアンの基準を用いて、合成写像 F = F₁⁻¹F₂⁻¹Φ が正則的かつ単射であることを保証する。
• Brody の補題および K3 表面のモジュライ空間における密度結果を用いて、すべての K3 表面への予想的拡張を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kodaira 次元が 2 より小さい代数的表面の中で、ℂ² によって支配可能なものはどれか？
• RQ2 ℂ² による支配可能性は、その表面において ℂ のザリスキ・DNA な正則像の存在と同値か？
• RQ3 有限個の点の小さな近傍を表面から除いた場合に、支配可能性は保たれるか？
• RQ4 基本群と Kodaira 次元が、支配可能性をどのように共同で決定づけるか？
• RQ5 支配可能性と property C の欠如（ℂ の正則像の代数的退化）との同値性に対する例外は存在するか？

主な発見

• Kodaira 次元が 2 より小さい射影的表面に対して、ℂ² による支配可能性は、property C の欠如（すなわち、ℂ のザリスキ・DNA な正則像の存在）と同値である。
• この同値性の例外は、楕円的または Kummer の K3 表面にバーレーションを持つ表面であり、追加条件が満たされない限り、ℂ² によって支配可能でない。
• 有限個の点の小さな近傍を除いた場合でも、ℂ² による支配可能性は保たれ、実際にその近傍を避ける正則埋め込みを明示的に構成することで示された。
• K3 表面に双正則同型でない Kodaira 次元 0 の表面に対しては、ℂ² による支配可能性は条件なしに成立する。
• 定理 1.2 における基本群の条件——偶数階のアーベル群の有限被覆であること——は、非 K3 の場合に支配可能な表面を特徴づける。
• 系 6.5 は、複素トーラスまたは Kummer の K3 表面の双正則モデルにおける小さな近傍の補集合が、依然として ℂ² によって支配可能であることを確認している。