[論文レビュー] Algorithmic information theory and martingales

Laurent Bienvenu, Alexander Shen|ArXiv.org|Jun 15, 2009

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、マーチン・ローフの確率的無作為性がマーチングのベッティング戦略を通じて特徴付けられることを示し、アルゴリズム的情報理論とマーチングを統合する。主な貢献は、コルモゴロフ・コンプレックスィティとユニバーサル半測度に基づくユニバーサルな無作為性のテストであり、最小のアルゴリズム的構造を持つ通常の列——つまり、すべての計算可能統計的検定を満たす列——が、無作為性の条件を満たすことを示している。

ABSTRACT

The notion of an individual random sequence goes back to von Mises. We describe the evolution of this notion, especially the use of martingales (suggested by Ville), and the development of algorithmic information theory in 1960s and 1970s (Solomonov, Kolmogorov, Martin-Lof, Levin, Chaitin, Schnorr and others). We conclude with some remarks about the use of the algorithmic information theory in the foundations of probability theory.

研究の動機と目的

• アルゴリズム的情報理論を用いて、個々の無作為性の直感的概念を形式化すること。
• 規則的列（例：100回連続で表が出る）が低い確率を持つにもかかわらず直感的に非無作為であるというパラドックスを解消すること。
• マーチングとコルモゴロフ・コンプレックスィティに基づくユニバーサルな無作為性の枠組みを確立すること。
• 最小のアルゴリズム的構造を持つ通常の列——つまり、すべての計算可能統計的検定を通過する列——が、すべての計算可能統計的検定を満たすことを示すこと。
• ユニバーサル半測度とアルゴリズム的コンプレックスィティが、無作為性の最小で最適なテストを提供することを示すこと。

提案手法

• 計算可能マーチングをベッティング戦略として用い、マーチングが列上で成功しない場合に限り、その列を無作為と定義する。
• コルモゴロフ・コンプレックスィティ $KM(x)$ を用いてアルゴリズム的無作為性を定義し、$\overline{KM}(x)$ をユニバーサルテストを満たす最小の半計算可能関数として定義する。
• 非計算可能オракル $\alpha$ を用いて、通常の列の概念を正規性欠陥 $\overline{KM}(x) - \overline{KM}_\alpha(x)$ を通じて定義する。
• ユニバーサル半計算可能半測度（ア・プライオリ・確率）を用いて、無作為性のユニバーサルテストを定義する。
• 相対的コンプレックスィティ $\overline{KM}_\alpha(x)$ を用いて、通常の列からアルゴリズムによって生成された列を分析する。
• すべての通常の列は構造的にアルゴリズム的に同等であり、有効な手続きによって互いに変換可能であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーチングを用いてアルゴリズム的無作為性のユニバーサルテストを定義できるか？
• RQ2 アルゴリズム的コンプレックスィティは、規則性を持つ列における無作為性の直感的認識とどのように関係するか？
• RQ3 ユニバーサル半測度は、すべての計算可能確率分布にわたる無作為性の特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 すべての通常の列は有効なアルゴリズムによって互いに変換可能か？ これはその構造的同等性に何を意味するか？
• RQ5 列の正規性欠陥は、そのアルゴリズム的コンプレックスィティおよび物理的観測可能性をどの程度反映しているか？

主な発見

• 列がマーチン・ローフ無作為であることは、計算可能マーチングがその列上で成功しないことと同値であり、ベッティング戦略とアルゴリズム的無作為性との直接的な関連を確立する。
• $\overline{KM}(x)$、すなわち最小の半計算可能関数は、無作為性の最適なユニバーサルテストを提供し、これ以上の改善は不可能である。
• 正規性欠陥がその物理的記述の複雑さによって有界である通常の列は、すべての計算可能統計的検定を満たす。
• 通常の列からアルゴリズムによって生成されたすべての列は、自身も通常である。これは正規性の性質が有効変換のもとで安定していることを示している。
• すべての通常の列がユニバーサル計算可能 $P$-テストに合格する場合、固定されたオラクル $\alpha$ を用いたすべての計算可能テストにも合格する。これは正規性条件の普遍性を示している。
• すべての通常の列は同型なアルゴリズム的構造を持つ：任意の通常の列は、一様測度に関する無作為な列に有効に変換可能である。