[論文レビュー] Altering symplectic manifolds by homologous recombination

Mohammed Abouzaid, Paul Seidel|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、リーマン・フィブレーションを操作することで、複素アフィン多様体や余接 bundle を含む高次元の開シンプレクティック多様体上に、無限個の非シンプレクティック型の有限型リウビル型構造を構成する、まったく新しい技法「相同組換え」を導入する。主な貢献は、係数体の特性に応じてシンプレクティックコホモロジーが消えるか、消えないかを制御可能でありながら、ほぼシンプレクティック型を保ち続けることであり、微分同相型を超えたシンプレクティック構造の非一意性を示している。

ABSTRACT

We use symplectic cohomology to study the non-uniqueness of symplectic structures on the smooth manifolds underlying affine varieties. Starting with a Lefschetz fibration on such a variety and a finite set of primes, the main new tool is a method, which we call homologous recombination, for constructing a Lefschetz fibration whose total space is smoothly equivalent to the original variety, but for which symplectic cohomology with coefficients in the given set of primes vanishes (there is also a simpler version that kills symplectic cohomology completely). Rather than relying on a geometric analysis of periodic orbits of a flow, the computation of symplectic cohomology depends on describing the Fukaya category associated to the new fibration. As a consequence of this and a result of McLean we prove, for example, that an affine variety of real dimension greater than 4 supports infinitely many different (Wein)stein structures of finite type, and, assuming a mild cohomological condition, uncountably many different ones of infinite type. In addition, we introduce a notion of complexity which measures the number of handle attachments required to construct a given Weinstein manifold, and prove that, in dimensions greater than or equal to 12, one may ensure that the infinitely many different Weinstein manifolds smoothly equivalent to a given algebraic variety have bounded complexity.

研究の動機と目的

• 実次元 ≥6 の複素アフィン多様体に対して、有限型リウビル多様体上のシンプレクティック構造の非一意性を示すこと。
• シンプレクティックコホモロジーが、新しい位相的構成法「相同組換え」により制御可能であり、係数体の特性に応じて消えるか、消えないかを切り替えられることを示すこと。
• 同じ多様体上で、ほぼシンプレクティック型だが、互いに非シンプレクティック型である無限族のリウビル多様体を構成すること、すなわち、複雑さが有界であっても可能であること。
• 無限型リウビル多様体への拡張を、適切に調整された領域との無限大境界接続和を用いて行うこと。

提案手法

• 元のリウビル多様体をリーマン・フィブレーションとして表現し、シンプレクティック・ピカール＝レフシェッツ理論を適用する。
• 生物学的インスピレーションを受けて考案された「相同組換え」という位相的操作を実行し、フィブレーション構造を変更することで、シンプレクティックコホモロジーが変化した新たなリウビル領域を生成する。
• 有限体上のシンプレクティックコホモロジーが制御された特別なリウビル領域 $U$ や $ ilde{U}_q$ との境界接続和を用いる。
• ビテルボの制限写像を活用し、得られた多様体のシンプレクティックコホモロジーを、成分のコホモロジーの直和または直積と関連付ける。
• 整数係数および $ ext{mod}$-$p$ 係数におけるシンプレクティックコホモロジーの長完全系列を適用し、$p$-可除性を用いて非ゼロの振る舞いを検出する。
• 無限大の複素構造を持つ多様体を、有限型領域の増大列として構成し、異なる体上の次元性を用いて区別可能なシンプレクティックコホモロジーの無限積を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リウビル多様体のほぼシンプレクティック型を保ちながら、シンプレクティックコホモロジーを制御的に変更することは可能か？
• RQ2 複雑さが有界であっても、1つの開多様体上に無限個の非シンプレクティック型のシンプレクティック構造を構成することは可能か？
• RQ3 同じ基本多様体を用いて、ある体（例：特性 $p$）ではシンプレクティックコホモロジーが消え、別の体（例：特性 0）では非ゼロのままとなることは可能か？
• RQ4 係数体の選択が、相同組換えによって構成された多様体のシンプレクティックコホモロジーにどのように影響するか？
• RQ5 無限大境界接続和を用いて、異なる体上で異なるシンプレクティックコホモロジーを持つ無限型リウビル多様体を構成することは可能か？

主な発見

• 任意の実次元 ≥6 の滑らかな複素アフィン多様体 $X$ に対して、$X$ とほぼシンプレクティック型である有限型リウビル多様体 $ ilde{X}$ が存在し、任意の係数体上でのシンプレクティックコホモロジーが消える。
• このような多様体に対して、$X$ とほぼシンプレクティック型であるが、$ar{bF}_p$ 上でのシンプレクティックコホモロジーが異なる無限列 $ ilde{X}_k$ が存在し、それらは互いに非シンプレクティック型である。
• 実次元 ≥12 の多様体に対しては、固定された整数 $q$ が素数 $p$ で割り切れる場合、$bF_p$ 上でシンプレクティックコホモロジーが消え、そうでない場合（特性 0 を含む）は非ゼロのままとなるような $ ilde{X}$ を構成可能である。
• 得られた多様体 $ ilde{X}_k$ のシンプレクティックコホモロジーは、固定された領域 $U$ のシンプレクティックコホモロジーの $k$ 重直和に同型であり、偶数部における $x^p = x$ の解の個数を用いて区別可能である。
• 固定されたリーマン・フィブレーション上での相同組換えを用いる有界複雑度の構成により、$ ilde{X}_q$ は互いに非シンプレクティック型であるが、一様に有界な複雑度を持つ。
• 無限型リウビル多様体は、有限型領域の和集合として構成可能であり、$p$ が何らかの $q_k$ を割るとき、$bF_p$ 上でのシンプレクティックコホモロジーは可算であるが、$p$ がすべての $q_k$ を割らないときには非可算である——次元性を用いて構造の相違を証明する。