[論文レビュー] An advection-diffusion process with proportional resetting

J. Kevin Pierce|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2022

Diffusion and Search Dynamics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ポisson分布に従う時刻に状態が即座に $\varepsilon u$ に縮小される割合リセットを伴う新しい広義拡散過程を提案する。モデルは加法的ノイズと乗法的ポアソンショットノイズを有するランジュバン方程式に従い、状態依存のリセットゆえにパンタグラフ型のフォッカー・プランク方程式に従う。この方程式の解は、$\varepsilon$ に応じて指数関数的およびガウス型の間を滑らかに補間する正確な統計的モーメントと定常分布を与える。主な貢献は、第一到達時間ダイナミクスと極限挙動を含む、プロセスの完全な解析的特徴付けである。

ABSTRACT

This paper presents a diffusion process with a novel resetting mechanism in which the amplitude of the process is instantaneously converted to a proportion of its value at random times. This model is described by a Langevin equation with both additive Gaussian white noise and multiplicative Poisson shot noise terms. The distribution function obeys a pantograph equation, a functional partial differential equation evaluated at two amplitudes simultaneously. From this equation the exact statistical moments and steady-state distribution of the process are calculated. The distribution interpolates between exponential and Gaussian extremes depending on the proportion of the amplitude lost in each reset. These results will be useful for applications in which stochastic quantities are suddenly reduced in proportion to their values due to random events.

研究の動機と目的

• ランダムな時刻に状態値が即座に $\varepsilon u$ に縮小される確率過程をモデル化し、固定値リセットを一般化する。
• 広義、拡散および比例リセットを有するプロセスの支配的ランジュバン方程式およびフォッカー・プランク方程式を導出する。
• プロセスの正確な統計的モーメントおよび定常確率分布を解析的に計算する。
• 定常分布の極限挙動を $\varepsilon \to 1$（弱いリセット）および $\varepsilon \to 0$（強いリセット）の両方において調査する。
• 比例リセット下での原点への平均第一到達時間を記述する方程式を確立する。

提案手法

• 定常広義項 $\Gamma$、強度 $2D$ のガウス白色ノイズ $\xi(t)$、およびレート $r$、強度 $1-\varepsilon$ の乗法的ポアソンショットノイズ $I(t)$ を有するランジュバン方程式を定式化する。
• 確率密度関数の前方フォッカー・プランク方程式を導出し、状態依存のリセットゆえに関数型偏微分方程式（パンタグラフ方程式）の形をとることを示す。
• 複素平面上の無限積の部分分数分解を用いたフーリエ変換技術によりフォッカー・プランク方程式を解く。
• 留数計算に基づく逆変換を、状態変数 $u$ の符号に応じて場合分けして実行する。
• 正規化定数を $q$-ポッヒャーマー記号および漸近展開を用いて評価し、定常分布を無限積および無限級数の形で表現する。
• 関連する関数型微分方程式を解くことで原点への平均第一到達時間を導出する。第一到達性の枠組みを状態依存リセットに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 比例リセット（ランダムな時刻に状態が $\varepsilon u$ に縮小される）は、広義拡散過程の統計的性質にどのように影響を与えるか？
• RQ2 定常確率分布の正確な形は何か？また、$\varepsilon$ の変化に応じて指数関数的およびガウス的挙動の間をどのように補間するか？
• RQ3 比例リセット下での統計的モーメント（平均および分散を含む）の正確な式は何か？
• RQ4 $\varepsilon \to 1$ および $\varepsilon \to 0$ の極限において、定常分布およびその背後にあるダイナミクスにどのような影響を与えるか？
• RQ5 本比例リセット枠組み下で、原点への平均第一到達時間を記述する方程式は何か？

主な発見

• 定常分布は、二次方程式の根に関する無限積を用いて表される $q$-ポッヒャーマー記号を含む項の和として閉形式で得られる。正規化定数は、根の無限積で表現される。
• $\varepsilon \to 1$ のとき、定常分布はガウス分布に収束し、標準的なオーナイユ・ウーレンバック過程と整合的であり、$\mathcal{O}(\sqrt{1-\varepsilon})$ のオーダーの補正項を伴う。
• $\varepsilon \to 0$ のとき、定常分布は指数関数的形に近づき、頻繁かつ著しいリセットに起因する原点付近への強い局在化を示す。
• プロセスの第一モーメントおよび第二モーメントが明示的に導出され、広義およびリセットが存在する中でも平均は有限で、分散は有界であることが示された。
• 原点への平均第一到達時間は、標準的な第一到達枠組みを状態依存リセットに一般化する関数型微分方程式に従う。
• フォッカー・プランク方程式の解は、フーリエ変換された特性関数の留数計算に基づく contour 積分により得られ、極が $z = i\lambda_{\pm}\varepsilon^{-l}$ に位置することから、確率密度関数の級数表現が得られる。