[논문 리뷰] An algebra of open continuous time dynamical systems and networks

Eugene Lerman, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 02.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 개방형 연속 시간 동역학계와 그 상호연결을 모델링하기 위해 전사 부분매장의 모나이드 이중 범주를 소개한다. 이는 하위계의 대수적 조합과 계 사이의 사상 간의 통합을 가능하게 한다. 이는 이전의 다각형 네트워크에 대한 연구를 일반화하며, 네트워크의 피브레이션(fibrations)을 특수한 경우로 복원한다.

ABSTRACT

Many systems of interest in science and engineering are made up of interacting subsystems. These subsystems, in turn, could be made up of collections of smaller interacting subsystems and so on. In a series of papers David Spivak with collaborators formalized these kinds of structures (systems of systems) as algebras over presentable colored operads. It is also very useful to consider maps between dynamical systems. This amounts to viewing dynamical systems as objects in an appropriate category. This is the point taken by DeVille and Lerman in the study of dynamics on networks. The goal of this paper is to describe an algebraic structure that encompasses both approaches to systems of systems. To this end we replace the monoidal category of wiring diagrams by a monoidal double category whose objects are surjective submersions. This allows us, on one hand, build new large open systems out of collections of smaller open subsystems and on the other keep track of maps between open systems. As a special case we recover the results of DeVille and Lerman on fibrations of networks of manifolds.

연구 동기 및 목표

• 개방형 연속 시간 동역학계의 대수적 조합과 이러한 시스템 간의 사상 연구를 통합하기 위해.
• 와이어링 다이어그램과 옵레라드 기반의 기존 프레임워크를 확장하여 시스템 간 사상을 포함하기 위해.
• 모듈러 구조와 구조적 관계를 모두 지원하는 다계층 시스템의 범주적 기반을 제공하기 위해.
• 데빌과 레르만이 다각형 네트워크의 피브레이션에 대해 수행한 작업을 통합적인 대수적 구조 안에서 일반화하기 위해.
• 연속 시간 동역학과 호환되는 방식으로 하위계와 그 사상 간의 상호작용을 체계적으로 형식화하기 위해.

제안 방법

• 와이어링 다이어그램의 모나이드 범주를 전사 부분매장이 되는 객체를 갖는 모나이드 이중 범주로 대체하기 위해.
• 이중 범주 구조를 사용하여 개방형 시스템의 조합과 그 사이의 사상 간의 모델링을 동시에 수행하기 위해.
• 수평 사상으로서 시스템(전사 부분매장)을, 수직 사상으로서 이러한 시스템 간의 사상으로 정의하기 위해.
• 계층적이고 모듈러적인 시스템 조합을 체계화하기 위해 표현 가능한 색상 옵레라드를 사용하여 대수적 구조를 구성하기 위해.
• 다양체와 매끄러운 사상들을 프레임워크 내에 통합함으로써 연속 시간 동역학과의 호환성을 확보하기 위해.
• 적절한 부분범주로 제한함으로써 다각형 네트워크의 피브레이션을 특수한 경우로 복원하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 개방형 연속 시간 동역학계를 대수적으로 조합하면서 그들 사이의 구조적 관계를 유지할 수 있는가?
• RQ2 어떤 범주적 프레임워크가 시스템의 모듈러 조립과 이러한 시스템 간의 사상 모두를 지원하는가?
• RQ3 제안된 구조는 기존의 다각형 네트워크 모델과 그 피브레이션을 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 전사 부분매장을 객체로 사용하는 것이 개방형 시스템의 모델링에 어떻게 향상되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 옵레라드 기반의 시스템 조합과 시스템 간 사상 간의 일관된 범주적 방식의 통합을 어떻게 달성하는가?

주요 결과

• 제안된 전사 부분매장의 모나이드 이중 범주는 개방형 시스템의 조합과 그 사이의 사상 추적을 위한 통합 프레임워크를 제공한다.
• 이중 범주 내에서 수직 화살표로 사상을 포함시킴으로써, 옵레라드 접근법을 확장하여 다계층 시스템 조합을 통합한다.
• 프레임워크는 데빌과 레르만이 다각형 네트워크의 피브레이션에 대해 수행한 결과를 특수한 경우로 복원한다.
• 전사 부분매장을 객체로 사용함으로써 경계 조건과 상호연결을 자연스럽게 표현할 수 있다.
• 이중 범주 구조는 단일 대수적 형식론 내에서 시스템 조합과 시스템 사상 간의 일관된 처리를 가능하게 한다.
• 이 접근법은 복잡한 동역학계의 계층적이고 모듈러적인 구조를 지원하면서도, 시스템 간의 관계 분석 능력을 유지한다.