[論文レビュー] An Algebraic Chain Model of String Topology

Xiaojun Chen|ArXiv.org|Aug 9, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、閉じた向き付け可能多様体の自由ループ空間におけるストリングトポロジーの階層レベル代数的モデルを、ホイットニー多項式形式とカレントを用いて構築する。ホイットニー多項式形式とカレントの複体のホッホシュィルトホモロジーがチャス＝スールバーグのループ積と同型なゲルステンハーバー代数構造を持つことを確立し、さらに $S^1$-作用がコンネス型作用素を介してバタリン＝ヴィルコヴィチ代数構造に引き上げられることを示しており、単連結でない多様体に対しても成立する。

ABSTRACT

A chain complex model for the free loop space of a connected, closed and oriented manifold is presented, and on its homology, the Gerstenhaber and Batalin-Vilkovisky algebra structures are defined and identified with the string topology structures. The gravity algebra on the equivariant homology of the free loop space is also modeled. The construction includes non simply-connected case, and therefore gives an algebraic and chain level model of Chas-Sullivan's String Topology.

研究の動機と目的

• 多様体の自由ループ空間におけるストリングトポロジー構造—ゲルステンハーバー代数、バタリン＝ヴィルコヴィチ代数、グラビティ代数—の階層レベル代数的モデルを提供すること。
• ストリングトポロジーにおける階層レベルの交線積の定義という課題を、ホイットニー多項式形式とカレントを用いたDGオープンフロベニウス型代数の導入により解決すること。
• 単連結でない多様体へもモデルを拡張することで、チャス＝スールバーグのストリングトポロジーを単連結でない場合にまで一般化すること。
• 自由ループ空間の階層複体をモデル化する、$A(M)\hat{\otimes}\hat{\Omega}(C(M))$ と完全なコサイクルコバーコンプレックス $\widehat{CC}_*(C(M))$ の間の準同型写像を確立すること。

提案手法

• ホイットニー多項式形式 $A(M)$ とカレント $C(M)$ を用いて、DG代数 $A(M)$ とDGコイデアル $C(M)$ に適合するコプロダクトを持つ、DGオープンフロベニウス型代数 $(A(M), C(M), \iota)$ を構成する。
• 自由ループ空間 $LM$ の階層モデルとして、循環バーバー複体に類似したねじれ微分を持つ完全なコバーコンプレックス $\widehat{CC}_*(C(M))$ を用いる。
• $A(M)\hat{\otimes}\hat{\Omega}(C(M))$ におけるねじれ積を用いて $HH_*(C(M))$ 上のループ積を定義し、それが可換であり、ゲルステンハーバー括弧を備えることを示す。
• 自由ループ空間上の $S^1$-作用を、$\widehat{CC}_*(C(M))$ 上にコンネス型作用素 $B$ を導入することで代数的にモデル化し、ホモロジー上でのバタリン＝ヴィルコヴィチ作用素を定義する。
• 準同型写像とフロベニウス適合性を介して、$HH_*(C(M))$ 上のBV代数構造がチャス＝スールバーグのBV代数と同型であることを確立する。
• ねじれテンソル積上の微分および $B$-作用の直接計算により、BVおよびグラビティ代数の公理を検証し、既知の代数的恒等式と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由ループ空間の階層レベルモデルを構築することで、ゲルステンハーバー代数およびバタリン＝ヴィルコヴィチ代数を含むストリングトポロジーの完全な代数的構造を捉えることができるか？
• RQ2 横断的でない場合に、階層レベルでフロベニウス適合性条件を代数的に実現する方法は何か？
• RQ3 このモデルは単連結でない多様体へも拡張可能であり、ストリングトポロジー構造を保持するか？
• RQ4 自由ループ空間上の $S^1$-作用を、階層複体上でコンネス型作用素を介して代数的にモデル化できるか？
• RQ5 カレント複体 $C(M)$ のホッホシュィルトホモロジー $HH_*(C(M))$ は、$H_*(LM; \mathbb{Q})$ 上のチャス＝スールバーグのストリングトポロジーホモロジーと同型なゲルステンハーバー代数として同型であるか？

主な発見

• カレント複体 $C(M)$ のホッホシュィルトホモロジー $HH_*(C(M))$ は、$H_*(LM; \mathbb{Q})$ 上のチャス＝スールバーグのループ積と同型なゲルステンハーバー代数構造を備える。
• $S^1$-作用が $\widehat{CC}_*(C(M))$ 上のコンネス型作用素 $B$ を介して引き上げられ、$HH_*(C(M))$ 上にバタリン＝ヴィルコヴィチ代数構造を定義し、これはチャス＝スールバーグのBV代数と同型である。
• モデルは単連結でない多様体に対しても有効であり、ストリングトポロジーを単連結の場合に限らないより広い多様体のクラスにまで一般化する。
• $A(M)\hat{\otimes}\hat{\Omega}(C(M))$ と $\widehat{CC}_*(C(M))$ の間のねじれ積は準同型写像であるため、階層モデルが正しいホモロジーを計算することが保証される。
• BV作用素は $B$ がホッホシュィルト複体上で作用する結果として得られ、微分および $B$-作用の明示的計算により、ゲルステンハーバー括弧との適合性が検証される。
• 微分および $B$-作用の代数的恒等式が、期待されるグラビティ代数の関係と一致することが示され、モデルがストリングトポロジーの完全な代数的構造を捉えていることが確認される。