[論文レビュー] Higher string topology operations

Véronique Godin|ArXiv.org|Nov 30, 2007

Algorithms and Data Compression参考文献 12被引用数 48

ひとこと要約

この論文は、閉じた向き付け可能多様体 $LM$ の自由ループ空間におけるチャスとサリヴァンのストリングトポロジー作用を、境界付きリーマン面のモジュライ空間のねじれホモロジーでパラメータ化された、全長 $d$ のホモロジー的 conformal field theory (HCFT) に拡張する。開-閉コボルディズムの写像類群を用いて $H_*LM$ 上の作用を構成し、$H_*LM$ が正の境界を持つ $d$-次元開-閉 HCFT を持つことを証明し、[5]における予想を解決する。

ABSTRACT

Chas and Sullivan have defined an intersection-type product on the homology of the free loop space LM of an oriented manifold M. In this paper we show how to extend this construction to a topological conformal field theory of degree d. In particular, we get operations on the homology of LM which are parameterized by the homology of the moduli space of open-closed Riemann surfaces.

研究の動機と目的

• Chas と Sullivan の $H_*LM$ 上のループ積を、位相的データでパラメータ化されたより豊かな代数的構造に一般化すること。
• ストリングトポロジー作用が境界付きリーマン面のモジュライ空間のホモロジーから生じることの形式的定式化。
• $(H_*LM, H_*M)$ 上に $d$-次元の開-閉ホモロジー的 conformal field theory (HCFT) を構成し、[5]における予想を解決すること。
• 開-閉コボルディズムの写像類群のねじれホモロジーを用いて $H_*LM$ 上の作用を定義すること。
• 写像類群のねじれ係数を用いた可換図式条件により、コボルディズムの貼り合わせにおける作用の整合性を保証すること。

提案手法

• 入射・出射・自由な境界成分を備えたコンパクトで向き付け可能な曲面としての開-閉コボルディズムを定義し、順序付き区間と円周の直和へのパラメータ化微分同相写像を備える。
• 入射および出射境界を点ごとに固定する向きを保つ微分同相写像からなる写像類群 $\mathit{Mod}^{\mathit{oc}}(S)$ を導入する。
• $\chi_S = H_*(S, \partial_{\mathit{in}}S)$ で定義される仮想ベクトル空間を用いて、行列式ラインバンドル $\det(\chi_S)$ を構成し、係数系におけるねじれ $\det(\chi_S)^{\otimes d}$ を得る。
• $B\mathit{Mod}^{\mathit{oc}}(S)$ のホモロジーに係数 $\det(\chi_S)^{\otimes d} \otimes H_*LM^{\otimes p} \otimes H_*M^{\otimes q}$ を用いて、$H_*LM^{\otimes m} \otimes H_*M^{\otimes n}$ への作用 $\mu_S$ を構成し、次数を保存する。
• 写像類群のねじれ係数を用いた可換図式により、貼り合わせにおける整合性を保証する。$\mu_{S_1} \cdot \mu_{S_2} = \mu_{S_1 \# S_2}$ が成り立ち、$\det(\chi_{S_1})^{\otimes d} \otimes \det(\chi_{S_2})^{\otimes d} \cong \det(\chi_{S_1 \# S_2})^{\otimes d}$ の同型を用いる。
• 埋め込みおよび合成における整合性を持つチューブ型近傍の空間がコンパクトであることを示し、トムの崩壊構成におけるホモトピー不変性とwell-definednessを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H_*LM$ 上のループ積は、$d$-次元の完全な開-閉ホモロジー的 conformal field theory (HCFT) に拡張可能か？
• RQ2 ストリングトポロジー作用は、境界付きリーマン面のモジュライ空間のホモロジーによって体系的にパラメータ化可能か？
• RQ3 特に $\det(\chi_S)^{\otimes d}$ のようなねじれ係数が、コボルディズムの貼り合わせにおける一貫性のある作用を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 開-閉コボルディズムの写像類群は、$H_*LM$ 上に一貫性のある場の理論構造を生じるか？
• RQ5 作用の合成を含む可換図式を用いて、貼り合わせに関して構成を整合性を持たせられるか？

主な発見

• 定理1で述べられるように、$(H_*LM, H_*M)$ は正の境界を持つ $d$-次元の開-閉ホモロジー的 conformal field theory を持つ。
• $H_*LM$ 上の作用は、係数 $\det(\chi_S)^{\otimes d} \otimes H_*LM^{\otimes p} \otimes H_*M^{\otimes q}$ を持つ $B\mathit{Mod}^{\mathit{oc}}(S)$ のホモロジーによってパラメータ化され、次数を保存する作用をもたらす。
• ねじれ $\det(\chi_S)^{\otimes d}$ は、$\mathit{Mod}^{\mathit{oc}}(S)$ に自然に作用する仮想ベクトル空間 $\chi_S = H_*(S, \partial_{\mathit{in}}S)$ から生じる。
• コボルディズムの貼り合わせは自然な同型 $\det(\chi_{S_1})^{\otimes d} \otimes \det(\chi_{S_2})^{\otimes d} \cong \det(\chi_{S_1 \# S_2})^{\otimes d}$ を誘導し、場の理論構造の一貫性を保証する。
• 合成の埋め込みに対して整合性を持つチューブ型近傍の空間はコンパクトであるため、トムの崩壊構成におけるホモトピー不変性とwell-definednessが保証される。
• 本構成により、[5]における予想が解決され、ストリングトポロジーが正の境界を持つ完全なHCFTとして実現され、ループ積がモジュライ空間でパラメータ化された高次作用に一般化される。