[論文レビュー] An Algorithmic Framework for Approximating Maximin Share Allocation of Chores

Xin Huang, Pinyan Lu|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Auction Theory and Applications参考文献 41被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、n人のエージェントに対する分割不能な責任（チョア）の分配において、11/9-近似の最大最小共有（MMS）割り当てを保証する画期的なアルゴリズムフレームワークを提示する。これは、従来の最高の境界4/3を改善するものである。本手法は、減少順のアイテム順序付けと二分探索を用いた貪欲なバンドル充填戦略を採用し、全責任が割り当てられるとともに、各エージェントのMMS値の11/9倍以内の公平性を維持する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of how to fairly dividing $m$ indivisible chores among $n$ agents. The fairness measure we considered here is the maximin share. The previous best known result is that there always exists a $\frac{4}{3}$ approximation maximin share allocation. With a novel algorithm, we can always find a $\frac{11}{9}$ approximation maximin share allocation for any instances. We also discuss how to improve the efficiency of the algorithm and its connection to the job scheduling problem.

研究の動機と目的

• 従来の公平性概念（ envy-freeness や比例性）が成立しない分割不能な責任の公平な分配を扱う。
• 責任のMMS割り当てにおける最良の既知の近似比を4/3から11/9に改善すること。
• 全責任が割り当てられることを保証するとともに、11/9-近似を達成する効率的なアルゴリズムを設計すること。
• 責任割り当てとジョブスケジューリング問題との関連を、特にバインパッキングと負荷分散の観点から探求すること。

提案手法

• BouveretとLemaître（2014）の手法を用いて、一般の責任割り当てインスタンスを、全エージェントが同一の順序的好みを持つ等価インスタンスに還元する。
• 個々のエージェントの評価値に基づき、責任を高い順に並べ替え、問題の大きい（高価値の）アイテムを優先する。
• 貪欲なバンドル充填手順を採用：少なくとも1人のエージェントがそのバンドルを自身のMMSの11/9倍以内に価値づける限り、可能な限り多くの責任をバンドルに追加する。
• 全割り当てが可能である最小のしきい値を特定するために、しきい値の二分探索を実施し、妥当性の簡単なテストを併用する。
• ジョブスケジューリングのためのPTASを適用し、(11/9 + ε)-近似を得る。効率を高めるために、二分探索の反復回数を削減する。
• このフレームワークをジョブスケジューリング問題に適応し、評価値が整数の場合にO(m log m + n)時間で11/9-近似を達成するアルゴリズムを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 責任割り当てのMMS近似比を、従来の知られていた4/3の境界を超えて改善できるか？
• RQ2 任意の責任割り当てインスタンスに対して、11/9-近似MMS割り当てを保証する多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 提案されたアルゴリズムフレームワークが達成可能な最もタイトな近似比は何か？また、理論的下限に近づけるか？
• RQ4 提案されたフレームワークは、バインパッキングやジョブスケジューリングにおける従来のアルゴリズム（例：First Fit Decreasing（FFD））とどのように関連しているか？
• RQ5 このフレームワークは、現実の責任またはジョブ割り当ての設定において、効率的で実用的なアルゴリズムに適応可能か？

主な発見

• 本稿は、責任割り当ての任意のインスタンスに対して、11/9-近似の最大最小共有割り当てが常に存在することを確立した。
• 提案されたアルゴリズムは、各エージェントが自身の個別MMSの1/11/9以上に価値づけるバンドルを受け取ることを保証する。
• 反復的バンドル割り当てプロセスの全期間にわたり、重要なインヴァリアントを維持することで、全責任の割り当てが保証される。
• 同一評価値の特別なケース（ジョブスケジューリング）では、アルゴリズムはO(m log m + n)時間で実行され、11/9-近似を達成する。
• このフレームワークは、従来のPTASアプローチよりも効率的で、概念的にも単純であることが示され、多くのヒューリスティクスよりも良い近似比を達成している。
• 存在性の結果から、5/4-近似の効率的な多項式時間アルゴリズムが導出可能であり、フレームワークの実用的制約への適応可能性を示している。