[論文レビュー] An almost sure energy inequality for Markov solutions to the 3D Navier-Stokes equations

Marco Romito|ArXiv.org|Feb 9, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、トーラス上での3次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、ほとんど確実なエネルギー不等式を満たすマルコフ解の存在を確立する。これにより、解の軌道に沿ってエネルギー関数がほとんど確実に非増加となることが保証され、これらの解に対する指数的エルゴード性を示すために必要な技術的ギャップが埋められる。

ABSTRACT

We prove existence of weak martingale solutions satisfying an almost sure version of the energy inequality and which constitute a (almost sure) Markov process.

研究の動機と目的

• 3次元確率的ナビエ＝ストークス方程式のマルコフ解の解析における技術的ギャップを埋めるために、ほとんど確実なエネルギー不等式の確立を目的とする。
• マルコフ型枠組みにおいて不変測度への指数的収束を示すために必要なエネルギー条件を検証することを目的とする。
• 標本路におけるエネルギー散逸を保証することで、確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式のマルコフ過程の理論を拡張することを目的とする。
• マルコフ性とエネルギー制御を用いて、長期的挙動解析の確率論的基盤を提供することを目的とする。
• [10]で提唱されたプログラムを完了し、ほとんど確実な動的条件下でのエネルギー不等式の確認を目的とする。

提案手法

• 空間時間白色ノイズを伴う3次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対する弱マルティングル解を構成する。
• 運動エネルギー、粘性散逸項、非線形相互作用項を組み合わせたエネルギー関数 $ \mathscr{E}_t(v,z) $ を導入する。
• すべての $ t \geq s $ に対して、$ \mathscr{E}_t(v,z) \leq \mathscr{E}_s(v,z) $ がほとんど確実に成り立つ（Lebesgue零集合を除く時間の集合を除く）という条件を課す。
• 条件付き確率の分解とマルコフ性を用いて、エネルギー不等式を時間的に前向きに伝播させる。
• 空間時間白色ノイズの不規則性に対処するために、[1]におけるほとんど確実なエネルギー収支の手法を適用する。
• 経路空間 $ \Omega = C([0,\infty); D(A)^\prime) $ 上の標準過程 $ \xi_t $ と、正則条件付き確率測度を用いて標本路の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、ほとんど確実なエネルギー不等式を満たすマルコフ解が存在するか？
• RQ2 標本路に沿ってエネルギー関数をほとんど確実に制御し、非増加的挙動を保証できるか？
• RQ3 時間シフトされた条件付き分布においてエネルギー不等式が保存されるか？これによりマルコフ的伝播が可能になるか？
• RQ4 マルコフ解の枠組みにおいて、エネルギー条件を確立することで指数的エルゴード性を支持できるか？
• RQ5 ほとんど確実なエネルギー不等式は、マルコフ性と半群構造とどのように作用し合うか？

主な発見

• 本稿は、弱マルティングル解がほとんど確実なエネルギー不等式 $ \mathscr{E}_t(v,z) \leq \mathscr{E}_s(v,z) $ a.s. を満たすことを証明する。ここで、すべての $ t \geq s $ に対して成り立ち、Lebesgue零集合を除く時間の集合を除く。
• このような解はマルコフ過程であることが示され、時刻 $ t_0 $ における条件付き分布は、$ \xi_{t_0} $ を初期値とする同じクラスの解に属する。
• エネルギー不等式は時間シフトされた条件付き測度においても保存され、エネルギー関数に対してほとんど確実にマルコフ性が保たれる。
• この結果により、[10]における不変測度への指数的収束を示すために欠落していた技術的仮定が確認された。
• 測度の分解と条件付き期待値によるエネルギー不等式の伝播に依拠し、オーランシュタイン＝ウーレン過程 $ z(t) $ の構造を活用する。
• [1]のほとんど確実なエネルギー収支技法を、空間時間白色ノイズを伴う3次元ナビエ＝ストークス設定に拡張し、経路ごとのエネルギー制御を確立した。