[論文レビュー] An elementary approach to the abelianization of the Hitchin system for arbitrary reductive groups

Roberto Scognamillo|ArXiv.org|Dec 23, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、任意の再帰的群 G に対して、種数 >1 のコンpactリーマン面 C のガロア被覆に関連する一般化されたプリム多様体への、ヒチン系の一般化された一般化されたファイバーから有限写像 F を初等的に構成する。主な結果として、G のディンキン図に B_n 成分が存在しない場合、または (G,G) が単連結の場合、F が単射であることが示され、古典的 GL(2) の場合を越えて直接的なアーベル化が得られる。

ABSTRACT

We consider the moduli space of stable principal G-bundles over a compact Riemann surface C of genus >1, with G a reductive algebraic group. We explicitly construct a map F from the generic fibre of the Hitchin map to a generalized Prym variety associated to a suitable Galois covering of C. The map F has finite fibres. In case G=PGl(2) one can check that the generic fibre of F is a principal homogeneous space with respect to a product of 2d-2 copies of Z/2Z where d is the degree of the canonical bundle over C. However in case the Dynkin diagram of G does not contain components of type $B_{n}$ n>0, or when the commutator subgroup (G,G) is simply connected the map F is injective.

研究の動機と目的

• 任意の再帰的群に対して、ヒチン系の一般化されたファイバーから一般化されたプリム多様体への明示的かつ初等的な写像を構成すること。
• アーベル化を通じて、ヒチン系の一般化されたファイバーの構造を理解すること。
• アーベル化写像が単射であるか、有限ファイバーを持つ条件を特定すること。
• 既知の GL(2) の結果を、特に (G,G) が単連結であるような場合に、任意の再帰的群に拡張すること。

提案手法

• 再帰的群 G に関連するリーマン面 C のガロア被覆を構成する。
• 被覆曲線のジュリアンのノルム写像の核として一般化されたプリム多様体を定義する。
• ヒチン系の一般化されたファイバーからこのプリム多様体への写像 F を明示的に定義する。
• 表現論的および幾何的技法を用いて、F のファイバーを分析する。
• 一般に F が有限ファイバーを持つことを証明し、G のディンキン図に特定の条件がある場合、または (G,G) が単連結である場合に F が単射であることを示す。
• 定理 3.2（改訂版では定理 3.1 と表記）の証明を再検討し、一般の場合の正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の再帰的群に対して、ヒチン系から一般化されたプリム多様体へのアーベル化写像が単射である条件は何か？
• RQ2 ヒチン系の一般化されたファイバーのファイバー構造は、関連するガロア被覆の幾何とどのように関係するか？
• RQ3 群の作用と torsor の観点から、ヒチンファイバーからプリム多様体への写像 F の正確な性質は何か？
• RQ4 アーベル化構成を GL(2) に限らず、すべての再帰的群に一様かつ初等的に可能にすることができるか？
• RQ5 G のディンキン図の型、特に B_n 成分の欠如が、アーベル化写像の単射性に果たす役割は何か？

主な発見

• ヒチン系の一般化されたファイバーから一般化されたプリム多様体への写像 F は、一般に有限ファイバーを持つ。
• G = PGL(2) の場合、F の一般化されたファイバーは、2d−2 個の Z/2Z の直積の主同次空間である。ここで d は canonical bundle の次数である。
• G のディンキン図に n > 0 の B_n 成分が存在しない場合、写像 F は単射である。
• G の交換子部分群 (G,G) が単連結である場合、写像 F は単射である。
• 改訂版では、定理 3.2 の証明に顕著な改善が加えられ、一般の場合の基礎的議論が強化された。
• 本構成は、古典的 GL(2) の場合を越えて、一様かつ初等的なアーベル化のアプローチを提供する。