[論文レビュー] An example of birationally inequivalent projective symplectic varieties which are D-equivalent and L-equivalent

Shinnosuke Okawa|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ピカール数1の非同型なK3表面の点のヒルベルトスキームを用いて、D同値かつL同値ではあるが双有理同値でない、初めて知られる射影的シンプレクティック多様体の例を構成する。この構成は、生成関数を介した導来的およびモチビック同値性の利用と、ヒルベルトスキームの可動コーン構造を用いた双有理同値性の否定に依拠し、K3表面の次数とヒルベルトスキームのパラメータnに関するペル方程式の条件が障害を引き起こすことを示す。

ABSTRACT

We give an example of a pair of projective symplectic varieties in arbitrarily large dimensions which are D-equivalent, L-equivalent, and birationally inequivalent.

研究の動機と目的

• D同値かつL同値ではあるが双有理同値でない射影的シンプレクティック多様体のペアを構成すること。
• Calabi-Yau多様体およびK3表面を超えて、高次元シンプレクティック多様体におけるD同値性およびL同値性の既知の例を拡張すること。
• 導来的およびモチビック不変量が一致する場合でも、明示的な幾何的制約を用いて双有理同値性の欠如が持続しうることを示すこと。

提案手法

• K3表面X上のn点のヒルベルトスキームX[n]を用い、これは次元2nの滑らかで射影的かつシンプレクティックな多様体である。
• Ploftの結果を適用し、XとYがD同値なK3表面であれば、X[n]とY[n]もD同値であることを確立する。
• ヒルベルトスキームの生成関数を用いて、localizedグローテンディーク環における公式 HZ(T) = (HAdim Z(T))^{L^{-dim Z}[Z]} を介してL同値性を証明する。
• Bayer-Macri (2014)の可動コーン記述を用い、ピカール群およびBeauville-Bogomolov-Fujiki形式を介してX[n]とY[n]の双有理幾何を分析する。
• 可動コーン内の極値線の三つ編みを適用し、双有理写像が非同型なK3表面の仮定に反する等長写像を誘導することを示す。
• ペル方程式(n−1)X² − dX Y² = 1の解を分析することで障害を特定し、dX ≠ dY または特定のnおよびdXの条件下で双有理同値性が妨げられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D同値かつL同値なシンプレクティック多様体が、任意の高次元において双有理同値でないことはあり得るか？
• RQ2 非同型なK3表面の点のヒルベルトスキーム間の双有理同値性の障害となる幾何的条件は何か？
• RQ3 K3表面の不変量におけるペル方程式の解が、それらのヒルベルトスキームの双有理幾何にどのように影響するか？
• RQ4 導来的およびモチビック同値性が、シンプレクティック多様体において双有理同値性の失敗と共存しうる範囲はどの程度か？
• RQ5 K3表面のパrameterに関する算術的条件を用いて、ヒルベルトスキームの双有理同値性を体系的に検出する方法はあるか？

主な発見

• 本稿は、次元2nが任意に大きくてもよい範囲で、D同値かつL同値ではあるが双有理同値でない射影的シンプレクティック多様体X[n]とY[n]のペアを構成する。
• XとYがピカール数1で次数2dX、2dYの非同型K3表面であれば、ヒルベルトスキームX[n]とY[n]はD同値かつL同値である。
• dX ≠ dY であるか、dX = dY、n > 2 かつペル方程式(n−1)X² − dX Y² = 1が整数解を持つ場合、双有理同値性は成立しない。
• n = 6y² + 2（y ≥ 1）のとき、例えばn = 8, 26, 56となるが、この条件下では定理の条件を満たし、次元16, 52, 112などの明示的な例が得られる。
• 証明では、任意の双有理写像がピカール群の等長写像を誘導し、XとYの非同型性に反するため、可動コーン構造に起因する障害が生じることを示す。
• ペル方程式の解が存在しない場合、双有理同値性が成立する可能性があり、n=3および次数12のK3表面の例からそれが確認され、障害条件の鋭さが裏付けられる。